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数学 苏(理)第四章 三角函数、解三角形§4.7 正弦定理、余弦定理基础知识·自主学习题型分类·深度剖析思想方法·感悟提高练出高分1.正弦、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则定理正弦定理余弦定理内容a2= ;b2= ;c2=________________b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C变形2Rsin B2Rsin C??sin A∶sin B∶sin C?A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin Aaba≥bab解的个数一解两解一解一解思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC中,AB必有sin Asin B.( )(2)若满足条件C=60°,AB= ,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是(,2).( )(3)若△ABC中,acos B=bcos A,则△ABC是等腰三角形.( )√√√(4)在△ABC中,tan A=a2,tan B=b2,那么△ABC是等腰三角形.( )(5)当b2+c2-a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形为直角三角形;当b2+c2-a20时,三角形为钝角三角形.( )(6)在△ABC中,AB= ,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于 .( )××返回× 题号答案解析1234钝角Enter2解析方法二 因为bcos C+ccos B=2b,所以sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,故sin(B+C)=2sin B,思维升华题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形解析例1 (2013·山东)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B= .(1)求a,c的值;思维升华题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形解析解 由余弦定理得:例1 (2013·山东)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B= .(1)求a,c的值;思维升华题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形解析∴ac=9.例1 (2013·山东)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B= .(1)求a,c的值;得a=c=3.思维升华题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形解析(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.例1 (2013·山东)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B= .(1)求a,c的值;思维升华题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形解析(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.例1 (2013·山东)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B= .(1)求a,c的值;思维升华解析例1 (2)求sin(A-B)的值.思维升华解析例1 (2)求sin(A-B)的值.思维升华解析例1 (2)求sin(A-B)的值.∴sin (A-B)=sin Acos B-cos Asin B思维升华解析例1 (2)求sin(A-B)的值.思维升华解析例1 (2)求sin(A-B)的值.(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.思维升华解析例1 (2)求sin(A-B)的值.(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.跟踪训练1 (1)(2014·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .解析 由2sin B=3sin C及正弦定理得2b=3c,跟踪训练1 (1)(2014·天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A的值为 .(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos A= ,cos B= ,b=3,则c= .∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B(2)设△ABC的内
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