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初中数学讲义 （内部资料，严禁外传） 八年级上 第十一讲 三角形 与三角形有关的线段 三角形的边 11.1.2-11.1.3 三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性 与三角形有关的角 三角形的内角 三角形的外角 多边形及其内角和 教学活动 小结 复习题 11 【知识精要】 1．三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点 ：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用 A、 B、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作 △ABC，其中线段 AB、BC、AC是三角形的三条边，∠ A、∠ B、∠ C分别表示三角形的三个内角． 3．三角形中的三种重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段． （ 1）三角形的角平分线 ：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交， 这个角的顶点和交点之间的 线段叫做三角形的角平分线． 注意： ①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一 条射线． 三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部． ③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同， 可以用量角器画， 也可通过尺规作图来画． （ 2）三角形的中线 ：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意： ①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点． 新世纪博瑞教育 新世纪博瑞教育 PAGE PAGE # / 60 ②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可． （ 3）三角形的高线 ：从三角形一个顶点向它的对边作垂线， 顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线， 简称三角形的高． 注意：①三角形的三条高是线段 ②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边 上的高． （二）三角形三边关系定理 ① 三角形两边之和大于第三边 ，故同时满足△ ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+bc，b+ca，c+ab． ②三角形两边之差小于第三边 ，故同时满足△ ABC三边长 a、b、c 的不等式有： ab-c ，ba-c ，cb-a ． 注意：判定这三条线段能否构成一个三角形， 只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线 段即可 （三）三角形的稳定性 三角形的三边确定了， 那么它的形状、 大小都确定了， 三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性． 例 如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理． 三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种： （四）三角形的内角 结论 1：三角形的内角和为 180° ．表示： 在△ ABC中，∠ A+∠B+∠C=180° （ 1）构造平角 ①可过 A点作 MN∥BC（如图 ） ②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图） （ 2）构造邻补角，可延长任一边得 邻补角（如图） 构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图） 结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余 ．表示： 如图，在直角三角形 ABC中，∠ C=90°，那么∠ A+∠ B=90° （因为∠ A+∠ B+∠ C=180°） 注意： ①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠ B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ ABC中，已知∠ A：∠ B：∠ C=2： 3：4，求∠ A、∠ B、∠ C的度数． 五）三角形的外角 1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角． 如图，∠ ACD为△ ABC的一个外角，∠ BCE也是△ ABC的一个外角， 新世纪博瑞教育 新世纪博瑞教育 这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 . 如图中，∠ ACD=∠A+∠B , ∠ ACD∠ A , ∠ACD∠B. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3．外角个数 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． （六）多边形 ①多边形的对角线 n（n 3） 条对角线 2 ②n 边形的内角和为（ n－2）× 180° ③多边形的外角和为 360° 考点 1 对下面每个三角形，过顶点 A画出中线，角平分线和高 . (1) 考点 2(3) (1) 考点 2 (3) 1、下列说法错误的是 （ ）. A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2、下列四个图形中，线段 BE是△ ABC的高的图形是