上海兰生复旦数学几何模型压轴题单元测试卷(word版,含解析).docx

上海兰生复旦数学几何模型压轴题单元测试卷（word版，含解析） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1.如图 2,在 RtA/^BC 中，ZA = 90° , AB=AC,点 D, E 分别在边 AC 上，AD= AE,连接DC,点M, P, A/分别为DE, DC, BC的中点. （1） 观察猜想：图1中，线段PM与P/V的数量关系是_,位置关系是_: （2） 探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接M/V, BD, CE,判断 △PMN的形状，并说明理由： （3） 拓展延伸：把△ADE绕点力在平而内自由旋转，若40=4, 48=10,请直接写出 △PMN面积的最大值. 【答案】 ⑴PM=PN, PM丄PN； （2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3） _49 SPMN 城* = . 【解析】 【分析】 （1） 由已知易得BD = CE,利用三角形的中位线得岀PM=-CE. PN=-BD,即可 2 2 得出数疑关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM=ZDC4,最后用互 余即可得出位苣关系； （2） 先判断出AABD = MCE,得出BD = CE,同（1）的方法得出 2 pn = \bd,即可得出PM = /W,同（1）的方法由 2 ZMPN = ZDCE + ZDCB + ADBC = ZACB + ZABC ,即可得出结论： （3） 方法1：先判断出MN最大时，APMN的而积最大，进而求出AN, AM，即可得 出MN最大= AM + AN,最后用而积公式即可得出结论.方法2：先判断岀BD最大 时，△PAYN的面积最大，而BD最大是AB + AD = 14,即可得出结论. 【详解】 解：（1） ???点P, N是BC, CD的中点， ???PNHBD、PN = -BD, 2 ???点P，M是CD，DE的中点， :PM I ICE y PM =」CE , 2 vAB = AC AD = AE^ :.BD = CE, /. PM = PN, -PN//BD, :.ZDPN = ZADC, M//CE, ZDPM = ZDCA , ?.?Z^4C = 90。， ZADC + ZACD = 90°, ZA/PN = ZDPM + ZDPN = ZDC4 + ZADC = 90。， . .PM 丄PN, 故答案为：PM = PN、PM IPN ； （2） APMN是等腰直角三角形. 由旋转知，ABAD = ZCAE, \-AB = AC, AD = AE ：.^ABD = ^ACE{SAS） t :.ZABD = ZACE, BD = CE, 利用三角形的中位线得，PN =、BD, PM=-CE, 2 2 :.PM = PN, :.AP/WV是等腰三角形， 同（1）的方法得，PA///CE, /. ADPM = ZDCE, 同（i）的方法得，PN//BD. :.ZPNC = ADBC, ZDPN = ZDCB + ZPNC = ADCB + ADBC , /. ZMPN = ZDPM + ZDPN = ZDCE+乙 DCB + ZDBC =ZBCE+ADBC = ZACB + ZACE+ZDBC = ZACB+ZABD+ZDBC = ZACB+ZABC, ?.SAC = 90。， :.ZACB + ZABC = 90°, .?.ZMPN = 90。， APW是等腰直角三角形： (3)方法1：如图2,同(2)的方法得，APMN是等腰直角三角形, E ???MN最大时，APMN的面积最大， DE 11BC且DE在顶点A上而， :.MN 最大=AM + AN , 连接AM，AN, 在AADE中，AD = AE = 4^ ZZME = 90°. /. AM = 2^2， 在RtAABC中，AB = 4C = 10, AN = 5近 :.MN.,, =2“ + 5Q = 7“， ??-Sz、=^?2=lxW=lx(7? =譽? 方法2：由(2)知，APMN是等腰直角三角形，PM = PN = -BD, 2 .?.PM最大时，APMN而积最大， 二点D在34的延长线上， .-.BD = AB+AD = 14t ..PM =7, 【点睛］ 此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线左理，等腰直角三角形的判左和性 质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用：解（1〉的关键是判断出 PN^BD,解⑵的关键是判断出沁3CE,解⑶的关键 是判断岀MN最大时，NMN的而积最大. 2.请阅读下列材料： 问题：如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=JJ , PC=1、求ZBPC度数的 大小和等边三角形ABC的边长. 李明同学的思路是：将ABPC绕点B逆时针旋转60。，画出旋转后的图形（如图