本征值问题课件 PPT.ppt

三、勒让德方程度级数解法 化为标准形式： 是方程度奇点 在 点的邻域： 1.级数解 带入方程 或 递推公式 系数的两 个序列 两个积分常量－ 是方程度奇点，这个级数解在这两点是否收敛？ 2. 解的收敛性 可以证明，当解 是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。 如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点同时收敛。 由系数的递推关系 可知： 当 是偶数，则偶次项的系数在 以后为零。而奇次项的系数在 时为零。 当 是奇数，则奇次项的系数在 以后为零。而偶次项的系数在 时为零。 这样，得到 阶勒让德多项式。 3.自然边界条件 解在 保持有限。 确定了勒让德方程的解必须是多项式， 必须是整数。 “解在 保持有限” 因此是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数 为勒让德多项式， 是本征值。 本征值问题 本征值问题 9.1 特殊函数的常微分方程 在三维空间使用球座标或柱座标。 球极座标 边界 h 柱坐标 一、正交曲线座标系中的拉普拉斯方程 直角坐标系中的拉普拉斯算子： 柱座标： 球座标 （见附录6） 二、拉普拉斯方程的分离变量 1. 球座标： 分离变量 欧拉形方程 a. 解： ＃ b. 球方程 再令 b1. 自然的周期边界条件： b2. l-阶缔合勒让德方程 b3. l-阶勒让德方程 u 是轴对称的，对φ的转动不改变 u 。 2. 柱座标： 分离变量 a. h b. c1. c2. c2.1. 贝塞耳方程 上下底的非齐次边界条件 h c2.2. 虚宗量贝塞耳方程 上下底的齐次边界条件 h 三、波动方程的分离变量 a. 令 振动方程 亥姆霍兹方程 四、热传导方程的分离变量 a. 令 亥姆霍兹方程 增长或衰变的方程 五、亥姆霍兹方程 1. 球座标 球贝塞耳方程 它是 阶贝塞耳方程 2. 柱座标 上下底的齐次边界条件 h 9.2 常点邻域的级数解法 线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。 对于复变函数： 一、定义 方程的常点 ： 和 在其邻域解析。否则为奇点。 二、常点邻域的级数解 定理： 方程的常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在 唯一点解析解 满足初始条件 。 由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：