2020_2021学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1单调性与最大小值1学案含解析新人教A版必修第一册202103091167.doc

PAGE 3．2　函数的基本性质 3．2.1　单调性与最大(小)值(1) 内　容　标　准 学　科　素　养 1.利用函数图象，直观地观察函数的单调性． 直观想象 数学抽象 逻辑推理 2.利用特殊函数，理解函数单调性及几何意义． 3.会根据函数的单调性定义，判断、证明单调性. 授课提示：对应学生用书第37页 [教材提炼] 知识点　函数的单调递增、单调递减 eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题) 对于函数f(x)＝x2，如何用符号语言描述？　　　 知识梳理　(1)定义域为I的函数f(x)的增减性 (2)①特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasing function)． ②特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing function)． ③如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． [自主检测] 1．如图所示的函数中在其定义域上是增函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．4 解析：只有①是增函数． 答案：B 2．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1＜x2，使f(x1)＜f(x2)成立，则y＝f(x)(　　) A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 解析：根据函数单调性概念可知，y＝f(x)的单调性不确定． 答案：D 3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　) A．y＝3－x B．y＝x2＋1 C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－|x| 答案：B 4．函数y＝|x－1|的增区间为________． 答案：[1，＋∞) 授课提示：对应学生用书第37页 探究一　由函数图象求函数的单调区间 [例1]　作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象并指出它的单调区间． [解析]　根据绝对值的意义，y＝－x2＋2|x|＋3 ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0,－x2－2x＋3，x0))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－?x－1?2＋4，x≥0,－?x＋1?2＋4，x0)). 作出函数图象如图所示， 根据图象可知，函数在区间(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在区间(－1,0)，(1，＋∞)上是减函数． 一般来说，求函数单调区间可以根据函数的图象．在某区间内，由左至右图象是上升的，该区间就是函数的单调增区间；某区间内，由左到右图象是下降的，该区间就是函数的单调减区间． 　将本例函数改为f(x)＝|x2＋2x－3|，求f(x)的单调区间． 解析：令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4. 先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示． 由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]． 探究二　函数单调性的证明或判断 [例2]　[教材P79例3拓展探究] 根据定义证明y＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是单调递减． [证明]　?x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，有 y1－y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2))) ＝(x1－x2)＋eq \f(x2－x1,x1x2)＝eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)． 由于0＜x1＜1,0＜x2＜1. ∴0＜x1x2＜1. ∴x1x2－1＜0. 又由x1＜x2， ∴x1－x2＜0， ∴eq \f(x1－x2,x1x2)(x1x2－1)＞0， ∴y1＞y2， ∴函数y＝x＋eq \f(1,x)在(0,1)上是减函数． 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选择或填空题时有时可用图象法)，利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是： 探究三　利用单调性求参数 [例3]　已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，求a的取值范围． [解析]　当a＝0时，f(x)＝－x＋1在(－∞，2)上单调递减，符合题意； 当a≠0时，要使f(x)在(－∞，2)上单调递减，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＞0，,－\f(－1,2a)≥2，))解得0＜a≤eq \f(1,4).