2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角学案含解析新人教A版必修第一册202103091183.doc

PAGE 5．1　任意角和弧度制 5．1.1　任意角 内　容　标　准 学　科　素　养 1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理 2.能区分正角、负角和零角． 3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角. 授课提示：对应学生用书第76页 [教材提炼] 知识点一　角的概念 eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题) ⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？　　　 知识梳理　(1)角的概念 角 描述 定义 角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 表示 其中O为顶点，OA为始边， OB为终边 记法 角α或∠α，或简记为α (2)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角 (3)相等角与相反角 ①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. ②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. ③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. 知识点二　象限角 eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题) 角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？　　　 知识梳理　角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 知识点三　终边相同的角 eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题) 30°与390°、－330°的终边有什么关系？　　　 知识梳理　所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [自主检测] 1．与30°角终边相同的角的集合是(　　) A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z} D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z} 解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}． 答案：A 2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　) A．45°－4×360°　　　　 B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360° 答案：D 3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角． 解析：若α是锐角，则0°α90°， 所以180°α＋180°270°，从而α＋180°是第三象限角． 答案：三 4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________． 解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)． 由0°≤－120°＋k·360°360°，k∈Z，得eq \f(1,3)≤keq \f(4,3). 又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°. 答案：240° 授课提示：对应学生用书第77页 探究一　任意角的概念 [例1]　(1)下列说法正确的有________．(填序号) ①零角的始边和终边重合． ②始边和终边重合的角是零角． ③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°. ④绝对值最小的角是零角． (2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？ [解析]　(1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合． (2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5eq \f(5,12)小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋eq \f(5,12))×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(5,12)))×360°＝－1 950°. [答案]　(1)①③④　(2)见解析 求解任意角问题的步骤 (1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角． (2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小． 　写