2020-2021某大学《高等代数》期末课程考试试卷合集（含答案）.doc

院系：—————— 专业班级：——————— 姓名：——————— 学号：—————— 院系：—————— 专业班级：——————— 姓名：——————— 学号：—————— 装 订 线 专业： 考试日期： 所需时间：120分钟 总分：100分 闭卷 一、选择题（5分×5） 1设A为型矩阵，B为型矩阵，E为m阶单位矩阵，若AB=E，则（ ）A A、秩r(A)=m, 秩r(B)=m??????? ????? B、秩r(A)=m, 秩r(B)=n C、秩r(A)=n, 秩r(B)=m???????? ???? D、秩r(A)=n, 秩r(B)=n 2设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是（A ）. （A） ； （B） ； （C） ； （D） . 3线性方程组的系数矩阵式矩阵，且的行向量线性无关，则错误的命题是（ D ）. (A) 齐次方程组只有零解； （B）齐次方程组必有非零解； (C) 对任意的，方程组必有无穷多解； (D) 对任意的，方程组必有唯一解. 4 设，矩阵满足，则.B （A）； （B）； （C）； （D）. 5 设是满足的任意两个非零矩阵，则（ A ）. （A）的列向量组线性相关，的行向量组必线性相关； （B）的列向量组线性相关，的列向量组必线性相关； （C）的行向量组线性相关，的行向量组必线性相关； （D）的行向量组线性相关，的行向量组必线性相关. 二、填空题 （5分×5） 6 设为3阶矩阵，，把按行分块为，则行列式 ——6 7设，且得秩为3，=___1___. 8 设是维实向量，且线性无关，已知是线性方程组的非零解，判断向量组的线性相关性.___________ 【解】根据定义来判断.设，这里.由题意，，则.由得，即 .所以，.又因为线性无关，.所以向量组的线性无相关. 9 判断二次型是否正定_______. 【解】所对应的矩阵为，它的顺序主子式 所以 正定. 10已知平面上三条不同直线的方程分别为 试证明这三条直线交于一点的充要条件是. 三、解答题. （10分×5） 11设元线性方程组，其中，，． 证明行列式； 当为何值时，该方程组有唯一解，并求； 当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解． 【解】 方法一：数学归纳法证明． 时，， 假设时，．则当时， 方法二：递推法． 由，得到 所以， 当时，，方程组有唯一解．． 当时，，，所以方程组有无穷多解，通解为 ． 12 . 【解】 注：如果一个矩阵的秩是1，则它可以分解成两个矩阵的乘积，即同时， 13 已知向量组 Ⅰ=，Ⅱ=，Ⅲ=，如果各向量组的秩分别为3，3，4.证明：向量组的秩为4. 【证明】方法一：既然Ⅰ的秩为3，则线性无关，Ⅱ的秩为3，则线性相关.所以可以由线性表示，设,所以 所以向量组的秩为4. 方法二：反证法.设线性相关，则可由线性表示，设为所以 ，Ⅲ的秩为3，矛盾. 14　已知４阶矩阵，其中线性无关，，如果，求方程组的通解． 【解】方法一： 既然，即．所以是的一个特解．又因为线性无关，，，其基础解系的维数是１．，是基础解系．所以方程组的通解为． 方法二：将带入方程组，其中，得到．既然 线性无关，所以，即.所以，. 用配方法化二次型为标准形，并写出所有的坐标变换. 注明：用配方法化二次型为标准形要分以下类型完成：1 中至少有一个不为零，例如，作变换.注意首先要写出二次型所对应的矩阵，以防计算错误；2所有 ，但是至少有一个，例如作变换. 【解】作变换 ，则.再令，得到. 令，得到 .另外， 院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________―――――――装―――――――订――――――― 院系_____________专业班级__________姓名____________序号___________ ―――――――装―――――――订―――――――线――――――――― 适用专业： 考试日期： 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分 一、填空（共50分，每小题5分） 1、设矩阵A=-2002x 2、已知α=11-1是矩阵A=2-125a3 3、t满足________时，二次型f=x 4、向量空间Pn的子空间W={(x1, 5、在p3中，σ(x1,x 6.n元实二次型f(x1 7.对于线性空间V中向量α1,α2,?,αr(r≥1),若在数域P中有 8.相似矩阵的特征