上海市上海中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题.docVIP

追梦小卷部：xiaoyazi0823 上海中学高一下期中数学试卷 2020.4 一、填空题 1．已知点在角的终边上，则 ． 2．函数的最小正周期是 ． 3．一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是2，则此扇形的面积是 ． 4．已知函数和函数的图像交于三点，则的面积为 ． 5．在平面直角坐标系中，角与角都以轴正半轴为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 6．已知，则 ． 7．设，且满足，则 ． 8．我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，所对的边长分别为，则的面积 ．根据此公式，若，且 ，则的面积为 ． 9．若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是 ． 10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ． 二、选择题 1．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 2．对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．设函数（是常数，），为了得到的图像，则只需将的图像（ ） A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 4．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．已知为锐角且，，则下列说法正确的是（ ） A．在定义域上为单调递增函数 B．在定义域上为单调递减函数 C．在上为增函数，在上为减函数 D．在上为减函数，在上为增函数 6．在中，分别为角的对边的长，若，则的值为（ ） A．1 B．2018 C．2019 D．2020 三、解答题 1．化简：． 2．已知函数． （1）用五点法作出在一个周期内的图像，并写出的值域，最小正周期，对称轴方程（只需写出答案即可）； （2）将的图像向左平移个单位得到函数的图像，求的单调递增区间． 3．如图，矩形中，两点分别在边上，，设，． （1）试用该图中提供的信息证明两角和的余弦公式； （2）若，且，求的值． 4．市政部门要在上中路路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出光线与平面部分截图如图中阴影部分所示，，路宽米，设． （1）求灯柱的高； （2）市政部门应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱 与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？ 5．设函数为偶函数． （1）求的值； （2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值； （3）在（2）的条件下，设函数，其中．已知在处取得最小值并且点是其图像的一个对称中心，试求的最小值． 参考答案 一、填空题 1． 2．2 3．4 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 【第7题解析】条件 【第8题解析】条件， 由余弦定理，得，． 【第9题解析】， 数形结合可知，，， ∴，，从而． 【第10题解析】任取，其中，， 则，化简得，， ∵，∴， 应用和差化积公式及二倍角公式，得 可得， 由于，∴，， 从而，∴， ∴． 二、选择题 1．A 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 【第5题解析】，由及在单调递减 可知，，∴，类似有， 易证为偶函数且在上单调递减，∴在上单调递增，选C． 【第6题解析】 ，选C． 三、解答题 1．． 2．（1），图像略， 的值域为，最小正周期为，对称轴为； （2）． 3．（1）由已知， ∴； （2）由已知，从而， ， ∴ ． 4．（1）三角形中，， 由，得 三角形中，， 由，得 （2）三角形中， 由，得 所以 因为，所以， 所以当时，取得最小值， 制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米． 5．（1），∵是偶函数，∴对一切恒成立，∴； （2），其最小值为，此时，， ∴，从而的最大值为0，此时的取值为； （3） ， 由在处取最小值，知的图像关于对称，有， 故，且， 从而，则，即， 又，则是正整数， ∵，是正整数，∴，， 当时，．显然，在处有最大值，而不是最小值，矛盾．当时，．显然，在处有最大值，而不是最小值，矛盾．当时，．显然，在处取最小值，且的图像关于点中心对称， ∴的最小值为．