（新高考）2021届高考数学 小题必练16 平面向量.docxVIP

1．平面向量及其应用 向量理论具有深刻的数学内涵、丰富的物理背景，向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁．向量是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学习和研究其他数学领城向量的基础，在解决实际向题中发挥重要作用．本单元的学习，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义；掌握平面向量的概念、运算、向量基本定理以及向量的应用，用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题． 内容包括：向量概念、向量运算、向量基本定理及坐标表示、向量应用． （1）向量概念 ①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． ②理解平面向量的几何表示和基本要素． （2）向量运算 ①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义． ②通过实例分析，掌握平面向量数量运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义． ③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． ④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． ⑤通过几何直观，了解平面向投影的概念以及投影向量的意义（参见案例）． ⑥会用数量积判断两个平面向的垂直关系． （3）向量基本定理及坐标表示 ①理解平面向量基本定理及其意义． ②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． ④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角． ⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． （4）向量应用与解三角形 ①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用． ②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． ③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1．【2020全国Ⅰ卷】设，为单位向量，且，则． 【答案】 【解析】因为，为单位向量，所以，， 所以，解得， 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题． 2．【2020全国Ⅱ卷】已知单位向量，的夹角为，与垂直，则． 【答案】 【解析】由题意可得， 由向量垂直的充分必要条件可得， 即，解得， 故答案为． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 一、单选题． 1．已知向量，，若，则实数的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵向量，， 若，则，∴实数，故选A． 2．已知向量，，且，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，， 因为，所以，从而，故选D． 3．已知向量，，，若，则实数（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 又，，所以， 即，解得，故选C． 4．已知向量与的夹角为，，，当时，实数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】向量与的夹角为，，， 由，知，， ，解得．故选C． 5．已知，为单位向量，且，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，为单位向量，且，所以， 所以，所以，故选B． 6．在中，，，为边上的高，为的中点，那么（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在中，，，为边上的高， 所以，， 又为的中点， 则，故选A． 7．已知向量，满足，，若与的夹角为，则实数（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不妨设，，则，， 则，，， 由向量夹角公式可知，解得， ∵，则，故舍去一根，∴，故选C． 8．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴，，， 故答案为C． 二、多选题． 9．已知是平行四边形对角线的交点，则（） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为是平行四边形对角线的交点， 对于选项A，结合相等向量的概念可得，，即A正确； 对于选项B，由平行四边形法则可得，即B正确； 对于选项C，由向量的减法可得，即C错误； 对于选项D，由向量的加法运算可得，即D错误， 综上可得A、B正确，故选AB． 10．已知向量，，，设，的夹角为，则（） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据题意，，，则，， 依次分析选项：对于A，，，则不成立，A错误； 对于B，，，则，即，B正确； 对于C，，，不成立，C错误； 对于D，，，则，，， 则，则，D正确， 故选BD． 11．已知，，且与夹角为，则的取值可以是（） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，且，，与夹角为， 所以，解得或， 故选AC． 12．已知圆和两点，（）．