（新高考）2021届高考数学 小题必练8 圆锥曲线.docxVIP

1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． 2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 3．了解圆锥曲线的简单应用；理解数形结合的思想．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 1．【2020全国Ⅰ卷理科】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴，若的斜率为，则的离心率为． 【答案】2 【解析】由题可知点的坐标为，所以，且， 代入并化简可得解得或（舍弃）． 【点睛】主要考查双曲线的几何性质、直线的斜率等知识点． 2．【2019全国Ⅰ卷理科】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点． 若，，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆的焦点为，，可知， 又，，可设，则，， 根据椭圆的定义可知，得， 所以，，可知， 根据相似可得代入椭圆的标准方程， 得，， 椭圆的方程为． 【点睛】利用椭圆的定义及标准方程运算求解． 一、单选题． 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与轴交于点，的内切圆与边切于点，若，则的渐近线方程是（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设三角形的内切圆的圆心为，在第一象限，如图所示． 作交于，交于，连接， 则，，． 根据双曲线的定义可知， 而 ， 所以，，，即，， 结合，得， 所以双曲线的渐近线方程为，故选A． 2．过双曲线的右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是 坐标原点）交的左支于点，若，且，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设左焦点为． 因为直线交的左支于点，所以，两点关于原点对称， 连接，，， 因为，且，， 所以四边形为矩形． 因为，所以令， 则，，，， 在中，，即，解得， 在中，，即，解得，故选C． 3．已知双曲线的左、右顶点分别为，，是上一点，且为 等腰三角形，其外接圆的半径为，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一： 不妨设在第一象限，， 因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能． 令，则，，， 由正弦定理可得，所以， 则，， 则，，即． 又点在双曲线上，所以，解得， 则，则，故选C． 解法二： 不妨设在第一象限，因为是等腰三角形，所以结合图形可知，只能． 令，则，，， 由正弦定理可得，所以， 则，，即，， 则，，即， 根据，得，则，故选C． 4．过抛物线的焦点作直线与该抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一： 由题意，知，准线， 作于点，与点，过点作于点，交轴于点， 设，则． 由抛物线的定义，知，，， ，． 由，得，即，解得， 所以，故选A． 解法二： 由题意，知，准线，如图，作于点， 设直线的方程为，，， 将代入抛物线方程，得，所以①． 由，得，即，所以②． 联立①②解得，代入抛物线方程，解得． 由抛物线的定义，知，所以，故选A． 5．已知，分别是双曲线的上、下焦点，是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，不妨设点在双曲线的过一、三象限的渐近线上， 因此可得．，，所以， 以为直径的圆的方程为， 又以为直径的圆经过点，所以． 由，得，于是，故选C． 6．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线方程知其右焦点坐标为，所以，即， 所以抛物线的方程为． 由题意可设直线的方程为，直线的方程为， 则， 于是由，消去，得， 所以，同理可得． 因为为抛物线的焦点， 所以由抛物线的定义可得 ， 当且仅当时，取得最小值，故选C． 7．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，，交抛物线的准线于点， 若，则直线的斜率为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于，抛物线的焦点． 设直线的方程为，代入抛物线的方程，得． 设，，则，． 抛物线的准线方程为，则． 由，得，所以， 即，代入，得， 则， 又，所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以直线的斜率为． 解法二：如图，设点在第一象限，分别过，作抛物线准线的垂线，垂足为，． 由，得为的中点． 设，则， 根据抛物线的定义得，所以， 在中，，所以，即直线的斜率为， 当点在第一象限时可得直线的斜率为． 综上，直线的斜率为． 8．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点．若，，则的方程为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意设椭圆的方程为，连接， 令，则，． 由椭圆的定义知，，得，故，则点为椭圆的上顶