（新高考）2021届高考数学 小题必练17 新定义类创新题.docxVIP

高考数学试题坚持以能力为立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想．以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学习能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法． 1．【2020全国Ⅱ卷】周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期，对于周期为的序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为的序列中，满足的序列是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由知，序列的周期为，由已知，，， 对于选项A， ， ，不满足； 对于选项B， ，不满足； 对于选项D， ，不满足， 故选C． 【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，根据定义将各选项一一代入，然后分别判断即可． 2．【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量所有可能的取值为， 且，，定义的信息熵，（） A．若，则 B．若，则随着的增大而增大 C．若，则随着的增大而增大 D．若，随机变量所有可能的取值为，且， 则 【答案】AC 【解析】对于A选项，若，则，，所以， 所以A选项正确； 对于B选项，若，则，所以， 当时，； 当时，， 两者相等，所以B选项错误； 对于C选项，若，则， 则随着的增大而增大，所以C选项正确； 对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且 ， ， ， 由于，所以，所以， 所以，所以，所以D选项错误， 故选AC． 【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用，需要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解． 一、单选题． 1．设向量，，定义一种运算“”．向量，已知，，点在的图象上运动，点在的图象上运动且满足（其中为坐标原点），则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，点的坐标为， 则， 又因为点在的图象上运动，所以点的坐标满足的解析式， 即，所以函数的最小值为， 故应选B． 2．数列满足：对任意的且，总存在，使得，则称 数列是“数列”，现有以下四个数列：①；②；③；④，其中是“数列”的有（） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】令，则，所以数列是“数列”； 令，则，，，所以，所以数列不是“数列”； 令，则，，，所以，所以数列不是“数列”； 令，则， 所以数列是“数列”， 综上，“数列”的个数为． 二、多选题． 3．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则下列实数的 描述中正确的有（） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】BC 【解析】原不等式等价于，即对任意实数恒成立， 又，∴，解得． 4．能够把椭圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】椭圆的中心为原点，选项BC中函数是奇函数且图像关于原点对称，过原点，故是亲和函数； 选项A非奇非偶函数，选项D为偶函数，故不是亲和函数． 三、填空题． 5．定义运算，则关于正实数的不等式的解集为． 【答案】 【解析】∵，，∴， 同理可得， ∴不等式的解集为． 6．设全集，用的子集可表示由，组成的位字符串，如：表示的是第个字符为，第个字符为，其余均为的位字符串，并规定空集表示的字符串为．（1）若，则表示位字符串为_______．（2）若，集合表示的字符串为，则满足条件的集合的个数为_______个． 【答案】， 【解析】①表示的位字符串是，则表示的位字符串为； ②若，集合表示的字符串为， ∴集合可能是，，，，故满足条件的集合有个． 7．丹麦数学家琴生（）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是． 【答案】 【解析】，， ∵函数在上是“凸函数”，∴在上，恒成立， ∴，即， 令，显然在上单调递增， ∴，∴， 故答案为． 8．如果定义在上的函数满足：对于任意，都有， 则称为“函数”．给出下列函数：①；②；③； ④，其中“函数”的个数是． 【答案】②③ 【解析】∵对于任意给定的不等实数，，不等式恒成立， ∴不等式等价为恒成立，即函数是定义在上的不减函数（即无递减区间）． ①函数，则，在函数为减函数，不满足条件； ②， ，函数单调递增，满足条件； ③是定义在上的增函数，满足条件； ④，时，函数单调递增，当时，函数单调递减，不满足条件， 故答案为②③．