《概率论与数理统计》PPT课件（浙大版）.ppt

* 4.试述计算随机变量X的函数g(X)的数学期望E[g(X)]的两种方法。 5.设X～N(μ,σ2),用如下两种方法求E(X2)： (1)E(X2)=D(X)+[E(X)]2=σ2+μ2； (2) E(X2)=E(X.X)=E(X). E(X)=μ2； 两种结果不一样，哪一种错？为什么？ 6.设X和Y为两随机变量，且已知D(X)=6, D(Y)=7, 则D(X－Y)=D(X)－D(Y)=6－7=－10,这与任意一个随机变量的方 差都不小于零相矛盾，为什么？ * 7.考虑100包水泥的总重量Y用以下两种方式表示： (1)设第i袋水泥的重量为Xi , i=1,2,…,100, 由题意知, Xi ～N(50,2.52),Y=∑Xi , 则Y～N(100*50,100*2.52)； (2)设一包水泥的重量为X, 由题意知 X～N(50,2.52)。 若将100包水泥的总重量看成是1包水泥的100倍，即Y=100X, Y是X的线性函数，则： E(Y)=100E(X)=100*50, D(Y)=1002D(X)=1002*2.52 Y～N(100*50,1002*2.52) 这两种方法得到的总重量的分布不一样(因为方差不同，后 者方差是前者的100倍)， 试问哪一种正确？ 8.试问D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)对吗？ * 课件结束! 温馨提示： 本PPT课件下载后，即可编辑修改， 也可直接使用。 （希望本课件对您有所帮助） * §2 方差 设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时→平均寿命为1000小时； 另一批灯泡寿命为： 一半约1300小时，另一半约700小时→平均寿命为1000小时； 问题：哪批灯泡的质量更好？ 单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。 方差─正是体现这种意义的数学特征。 * 定义： * 对于离散型随机变量X， 对于连续型随机变量X， 此外，利用数学期望的性质，可得方差的计算公式： * 例1：设随机变量X具有数学期望 * 例2：设随机变量X具有0-1分布，其分布律为： 解： * 例3： 解： * 例4： 解：X的概率密度为： * 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为： 即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数θ * 方差的性质： * 证明： * 例6： Xk pk 0 1 1-p p 例7： 解： * 例8：设活塞的直径(以cm计) 汽缸的直径 X,Y相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。 * 表1 几种常见分布的均值与方差 数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布 0－1分布 p p(1-p) 二项分布b(n,p) np np(1-p) 泊松分布 均匀分布U(a,b) 指数分布 正态分布 * §3 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义： * 协方差的性质： 思考题： * 相关系数的性质： 续 * * * 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为： X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知 ,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？ * * 续 * 续 * * 例3：设X,Y相互独立服从同一分布，方差存在， 记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？ * §4 矩、协方差矩阵 * 利用协方差矩阵，可由二维正态变量的概率密度推广，得到n维正态变量的概率密度。 * n维正态变量具有以下四条重要性质： * 复习思考题 4 1.叙述E(X)和D(X)的定义。 * * * * 例3：设X和Y是相互独立的标准正态随机变量，求 的概率密度。 解：由卷积公式： 一般：设X,Y相互独立， * 例4：X,Y相互独立，同时服从[0,1]上的均匀分布，求 的概率密度。 x x=z z 1 2 0 x=z-1 解：根据卷积公式： 易