同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第10章曲线积分与曲面积分.pdf

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第十章 曲线积分与曲面积分 教学目的: 1. 理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2. 掌握计算两类曲线积分的方法。 3. 熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件, 会求全微分的原 函数。 4. 了解两类曲面积分的概念、 性质及两类曲面积分的关系, 掌握计算两类曲面积 分的方法,了解高斯公式、斯托克斯公式,会用高斯公式计算曲面积分。 5. 知道散度与旋度的概念,并会计算。 6. 会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量。 教学重点 : 1、两类曲线积分的计算方法; 2、格林公式及其应用; 3、两类曲面积分的计算方法; 4、高斯公式、斯托克斯公式; 5、两类曲线积分与两类曲面积分的应用。 教学难点: 1、两类曲线积分的关系及两类曲面积分的关系; 2、对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算; 3、应用格林公式计算对坐标的曲线积分; 4、应用高斯公式计算对坐标的曲面积分; 5、应用斯托克斯公式计算对坐标的曲线积分。 §10.1 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量 设一曲线形构件所占的位置在 xOy 面内的一段曲线弧 L 上 已知曲线形构件在点 (x y) 处的线密度为 (x y) 求曲线形构件的质量 把曲线分成 n 小段 s1 s2 sn( si 也表示弧长 ) 任取 ( i i ) si 得第 i 小段质量的近似值 ( i i ) si n 整个物质曲线的质量近似为 M ( , ) s i i i i 1 令 max{ s1 s2 sn} 0 则整个物质曲线的质量为 1 / 41 n M lim ( , ) s i i i 0 i 1 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到 定义 设 L 为 xOy 面内的一条光滑曲线弧 函数 f (x y)在 L 上有界 在 L 上任意插入一 点列 M 1 M2 Mn 1 把 L 分在 n 个小段 . 设第 i 个小段的长度为 si 又 ( i i ) 为第 i 个小段 n 上任意取定的一点 作乘积 f ( i i ) si (i 1 2 n ) 并作和 f ( , ) s 如果当各小 i i i

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