第6章统计决策与贝叶斯推断.pptx

统计学家瓦尔德(A.Wald)把关于假设检验和参数估计的经典统计理论加以概括，将不确定意义下的决策科学也包括在统计学范围之内，于1939年创立了统计决策理论，该理论弥补了过去统计理论的缺陷。;决策问题的 三个基本要素;依统计决策论的观点，对决策有用的信息;一、基本概念;一、基本概念;3、风险函数;二、常用的决策准则;2、最小最大（Minimax）决策准则;3、贝叶斯决策准则; 统计学中有两个主要学派：经典（频率）学派与贝叶斯学派。经典学派认为 是未知参数；贝叶斯学派认为 是随机变量，应该用一个概率分布去描述 的未知状况。这个概率分布在抽样之前就已存在，它是关于 的先验信息的概率陈述。这个概率分布就称为先验分布，用 来表示。;? 贝叶斯公式与后验分布;?先验风险准则与后验风险准则;定义2： 在给定的统计决策问题中，设 为决策函数 的损失函数， 为 的后验分布，则条件期望风险; 例6.1 一位收藏家拟收购一幅名画，这幅画标价为5000元。若这幅画是真品，则值10000元；若是赝品，则一文不值。此外，买下一幅假画或者没有买下一幅真画都会损害这位收藏家的名誉，其收益情况如下表;(1) 如果收藏家有以下三种决策可供选择： ：以概率0.5买下这幅画； ：请一位鉴赏家进行鉴定（已知该鉴赏家以概率0.95 识别一幅真画，以概率0.7识别一幅假画），如果鉴赏家鉴定为真品就买下这幅画； ：肯定不买 那么，什么是这位收藏家的最小最大决策？;这是一个决策问题，状态集 ， 为真品， 为赝品,行动集 表示“买”， 表示“不买”， 损失函数 用矩阵可表示为;解：（1）对 ，; 计算结果表明，收藏家的最小最大决策为 ，即如果鉴赏家鉴定为真品就买下这幅画，这一决策的最小最大风险为1800元。 ;(3) 引入随机变量 ; 的先验分布 为 ， 由贝叶斯公式可得 的后验分布 ; 这样样本空间 ，行动空间 ，所以决策函数只有以下4个;这样本值 时，这些决策函数的贝叶斯后验风险分别是：;在 时，这些决策函数的贝叶斯后风险分别是： ; 可见在贝叶斯风险准则下， 是最优决策函数，换言之，当鉴定家说这幅画是真品时，这位收藏家应买下这幅画。 下面计算（3）中那些决策函数的贝叶斯风险， 先算 的边缘分布： ;从而，; 定理6.1.1 对给定的统计决策问题（含给定的先验分布）和决策函数类 ，若贝叶斯风险满足条件;6.2 贝叶斯推断;定义6.1 若函数 和 相比仅差一个常数因子，则称 为 的核，记为; 贝叶斯学派认为， 的后验分布 集先验信息和样本信息于一身，包含了 的所有可供利用的信息，所以有关 的点估计，区间估计和假设检验等统计推断都要基于后验分布来进行。;一、贝叶斯估计;定理 若损失函数为 ，且 ， 则 的贝叶斯估计为 ;例1 设总体 的分布为 ，其中未知量 为随机变量，且 ， 为来自 总体 的样本值，求 的贝叶斯估计。 ; 条件（1）、（2）表明，D集中了后验概率密度取值尽可能大的点，因此 的最大后验密度可信区间就是在同一可信概率下长度最短的区间。;例2 设 为来自正态分布 的样本，其中 已知。又设 的先验分布为正态分布 ， 其中 为已知，求 的 可信区间。 ; 可见 是正态分布 ，因此对给定的 ，查得标准正态分布 的上侧分位数 ，使 ; 利用后验分布 ，分别计算假设 与 的后验概率