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2021年上海市高考押题卷
高中数学
(满分150分,考试时间100分钟)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分)只要求直接填写结果,1-6题每个空格填对得4分,7-12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
若 ,则关于的不等式 的解集为_______
【答案】
【解析】不等式变形为,得到,由于,两个根分别为,故解集为。
2. 若直线与曲线(为参数)有唯一的公共点,则实数k= .
【答案】
【解析】将曲线的参数方程化成直角坐标系下的方程,为,直线和圆有唯一交点,只要圆心到直线的距离等于半径即可,即,解得。
3. 是无穷数列,若是二项式展开式各项系数和,则
【答案】
【解析】令可得二项式展开后各项系数和为,即,则仍为等比数列,当时,。
4. 若抛物线上的点到其焦点的距离为,则实数 。
【答案】
【解析】由于抛物线上一点到抛物线准线的距离是5,所以到轴的距离是,故点的纵坐标,得。
5. 若 是方程 的解,则 ________
【答案】或
【解析】方程的解为或,将分别代入,即或,由于,所以或。
6. 如图,在 中,已知 , 是 边上的一点, 则 ________
【答案】
【解析】已知的三边,计算得到,从而,由正弦定理,,有,得到.
已知 ,则________
【答案】
【解析】=。
8. 已知等比数列 为递增数列, 为偶函数 的零点,若 ,则 ________
【答案】
【解析】由于是偶函数,所以,得到,。所以零点为,,,公比,故 ,又因为,所以,。
9. 定义在上的函数的反函数为,若为奇函数,则的解为________
【答案】
【解析】,则中,,所以的解为。
10. 若数列满足,,记表示不超过实数的最大整数,则_______.
【答案】
【解析】由,得,
解:由an+1=an+18n+10,得a1=10,
,
,
,
累加得: ,所以 ,则。
11. 已知定义在上的函数,满足,当时, ,,则函数的图像与函数的图像在区间上所有交点的横坐标之和为________。
【答案】
【解析】根据题意,函数满足,则的图像关于直线对称,而函数的图像也关于直线对称,
做出函数f(x)和g(x)图像如图:
由图可知,所以交点横坐标之和=。
12. 设,是函数图像上任意两点,为线段的中点.已知点的横坐标为,且有,(其中,且).若,为数列的前项和,满足对一切都成立,则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】
二、选择题(本大题共有4小题,满分20分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确的,选对得5分,否则一律得零分.
13.已知函数 的部分图像如图所示,则“”是“函数对恒成立”的( )
【A】充分不必要条件
【B】必要不充分条件
【C】充分必要条件
【D】既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】由图像可以知道,,所以,代入计算可得,当时,,,所以是函数对恒成立的非必要条件,反之易得到充分条件,故选。
14.设,其中满足,当的最小值为时,的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】
【解析】做出不等式组对应的平面区域如图,
由题意知,由得,平移直线,由图像可知当直线经过点时直线的截距最小,此时最小为,
此时目标函数为,由,解得,即,同时也满足方程,代入得k,
解得或(舍去),
故选:.
15.定义域是一切实数的函数,其图像是连续不断的,且存在常数()使得对任意实数都成立,则称是一个“—伴随函数”. 有下列关于“—伴随函数”的结论:①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”;②是一个“—伴随函数”;③“—伴随函数”至少有一个零点;其中正确结论的个数是 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【答案】
【解析】对于①,设(是常数)是一个“的伴随函数”,则,当时,可以取遍实数集,因此(是常数)必定是“的伴随函数”,可得不是常数函数中唯一个“的伴随函数”,故①不正确;对于②,假设是一个“的伴随函数”,则,即对任意实数成立,所以,而找不到使此式成立,所以不是一个“的伴随函数”,故②不正确.对于③,令,得,所以,当时,显然有实数根;当时,,因为函数的图像是连续不断的,所以在上必有实数根,综上所述,因此“的伴随函数”至少有一个零点.故③正确.故答案为:.
16.设数列的前项和为,,定义数列如下:对于正整数,是使不等式成立的所有的最小值,则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
【答案】
【解析】当时,;解得;当时,;
整理得;又因为,可得 ;
当时,有,此时最小取,即;
当时,有,此时最小取,即;
当时,有,此时最小取,即;
以此类推,,,,,
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