2021年高考数学重难点07 直线与圆锥曲线（点差法与交轨法）教师版.docVIP

重难点07 直线与圆锥曲线 （点差法与交轨法） 圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，且题目难度较大、分值较高，需要针对具体的题型采用不同的方法， 本讲需熟练地掌握点差法和交轨法。 【高考常见题型分类总结】 点差法 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 交轨法 一般用于求二动曲线交点的轨迹方程，其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程。 【高考常见题型限时检测】（建议用时：120分钟） 1.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。 【解析】 设直线与椭圆的交点为、 为的中点 　　 又、两点在椭圆上，则， 两式相减得 于是 即，故所求直线的方程为，即。 【知识点】点差法 2.在双曲线的一支上有不同的三点，与焦点的距离成等差数列。证明线段AC的垂直平分线经过某一点，并求出该点坐标。 【解析】 依题意有，又有 则 故AC的中垂线方程为 即，由方程知其必经过点 【知识点】点差法 3.如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分。 (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程． 【解析】 依题(Ⅰ)由题：； (1) 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2) 由(1) (2)可解得：． ∴所求椭圆C的方程为：． (Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0． ∵A，B在椭圆上， ∴． 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)， 代入椭圆：． 显然． ∴﹣＜m＜且m≠0． 由上又有：＝m，＝． ∴|AB|＝||＝＝． ∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：． ∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|， 当|m＋2|＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝． 此时直线l的方程y＝﹣． 【知识点】点差法 4.如下图，给出定点A(a，0)(a＞0)和直线l：x＝－1．B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于C．求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系． 【解析】 依题意，记B(－1，b)(b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx．设点C(x，y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等．根据点到直线的距离公式得 依题设，点C在直线AB上，故有 将②式代入①式得 整理得 y2[(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2]＝0， 若y≠0，则(1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0＜x＜a)； 若y＝0，则b=0，∠AOB＝π，点C的坐标为(0，0)，满足上式． 综上得点C的轨迹方程为 (1－a)x2－2ax＋(1＋a)y2=0(0≤x＜a)． (i)当a＝1时，轨迹方程化为 y2＝x(0≤x＜1)．③ 此时，方程③表示抛物线弧段； (ii)当a≠1时，轨迹方程为 所以，当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段． 【知识点】交轨法 5.已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点， （1）如果，求直线MQ的方程； （2）求动弦AB的中点P的轨迹方程. 【解析】 由，可得由射影定理，得 在Rt△MOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是 （2）连接MB，MQ，设由 点M，P，Q在一直线上，得 由射影定理得 即 把（*）及（**）消去a，并注意到，可得 【知识点】交轨法 6.已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。 【解析】 设弦端点、，弦的中点，则 ， 又 ， 两式相减得 即 ，即 点的坐标为。 【知识点】点差法 7.若抛物线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围。 【解析】 设是抛物线上关于直线对称的两点，则，设AB的中点。 又， 点p在抛物线内部 即 1）当，则 即无解 2）当则 ，即 故 【知识点】点差法 8.设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与 轴的交点，点在直线上，且满足. 当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线． （Ⅰ）求曲线的方程，判断曲线为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为的直线交曲线于，两点，其中在第一象限，它在轴上的射影为点，直线交曲线于另一点. 是否存在，使得对任意的，都有？若存在，求的值；若不存在，请说