2021年高考数学重难点02 数列（特征根法与不动点法）（教师版）.docVIP

重难点02 数列 （特征根法与不动点法） 数列中有两类比较特殊的求通项方法：特征根法和不动点法。这在上海高考中并不做要求，但学生若能掌握，对许多数列题会有更深刻的认识，求通项的手段也更加多样化。值得注意的是，特征根解法能用考纲范围内的方法来替代，这会在本讲中体现出来，学生可针对不同的题目按照最适合自己的解法来解题。 【高考常见题型分类总结】 1、特征根法 对于形如的关系式，有如下的通项求法： 该关系式对应于一元二次方程。若该方程有两个根，则数列的通 项可表示为： （I）若，则，其中为待定常数 （II）若，则，其中为待定常数 2、不动点法 对于形如的关系式，有如下的通项求法： 该关系式对应于分式方程，化简为一元二次方程。若该方程有两个根 ，则数列的通项可表示为： （I）若，则为等比数列，将代入即可化简为的形式，其中即为数列的公比。 （II）若，则为等差数列，将代入即可化简为的形式，其中即为数列的公差。 【高考常见题型限时检测】（建议用时：60分钟） 1、已知数列满足，则 . 解答：因为，由，解得， 所以有 是首项为3，公比为3的等比数列，得，所以 2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位. 当取何值时，数列是常数数列？ 数列的特征根方程为解得 则 要使为常数，即则必须. 形如，，（是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为（*）． （1）若方程（*）有二异根、，则可令（、是待定常数）； （2）若方程（*）有二重根，则可令（、是待定常数）． (其中、可利用，求得) 3、数列满足，，求的值和. 解法一（常规解法）： 易知，则， 所以是首项为4，公比为2的等差数列，得通项 所以， 解法二（利用特征根法）： 易知， 根据特征根方程，解得，可得 设，满足递推关系，初值条件． 令 ，即 ，令此方程的两个根为， (1)若,则有 （其中）(2)若,则有 （其中） 证明：如果数列满足下列条件：已知的值，且对于，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且）， 那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若则 若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中 证明：先证明定理的第（1）部分.作交换 则 ① ∵是特征方程的根，∴ 将该式代入①式得 ② 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③ 当，即=时，由②式得故 当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化： ④ 由是方程的两个相同的根可以求得 ∴ 将此式代入④式得 令则故数列是以为公差的等差数列. ∴ 其中 当时， 当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换 故，将代入再整理得 ⑤ 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故 故所以由⑤式可得： ⑥ ∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.∴ 将上两式代入⑥式得 当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有 当即时，上式也成立. 由且可知 所以(证毕) 注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述. 4、数列中，，，求的通项公式。（的情况） 解答：，只需让 所以，两端同时取倒数得 即.所以是一个首项为，公差为的等差数列 所以有，解得 例题2、数列中，，，求的通项公式. 解答：，只需 得：， 两式相除得：，即数列是公比为3，首项为3的等比数列， 所以，解得 5、已知数列满足：对于都有 （1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 作特征方程变形得 特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答. （1）∵对于都有 （2）∵∴ 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当≤4，时，. （3）∵∴ ∴ 令则∴对于 ∴ （4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2. ∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在. 于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在. 设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时, 证明: 是的两个不动点 即 于是, 方程组有唯一解 6.数列中，，，求的通项公式。 分析：由于递推式为，对应的递推函数是，令， 得不动点，所以有 ， 两式相除得：，两边取对数有