高中数学破译空间中有关外接球的问题经典题型专项训练及答案解析.doc

破译空间中有关外接球的问题 一、单选题 1．（2020·重庆市育才中学高三月考）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A． B． C． D． 2．（2020·湖北省高三）已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是( ) A． B． C． D． 3．（2020·福建省高三月考）在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）在棱长为6的正方体中，点满足，则三棱锥的外接球的表面积是（ ） A． B． C． D． 5．（2020·云南省云南师大附中高三月考）四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 6．（2020·河北省高三月考）圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，则圆锥与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ） A． B． C． D． 7．（2020·湖南省高三期末）设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A． B． C． D． 8．（2020·全国高三课时练习）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A． B． C． D． 二、填空题 9．（2020·全国高三课时练习）已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________． 10．（2020·山东省高三）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 11．（2020·广西壮族自治区广西师大附属外国语学校高三）在平面四边形ABCD中，ΔBCD是边长为2的等边三角形，ΔBAD为等腰三角形，且∠BAD=，以BD为折痕，将四边形折成一个的二面角，并且这个二面角的顶点A，B，C，D在同一个球面上，则这个球的球面面积为________________ 12．（2020·湖南省长郡中学高三月考）已知三棱锥，，，，当取最大值时，三棱锥的外接球表面积是______. 13．（2020·广东省高三期末）已知三棱锥中，，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为______. 14．（2020·全国高三专题练习）如图所示，六氟化硫的分子是一个正八面体结构，其中6个氟原子恰好在正八面体的顶点上，而硫原子恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为________. 15．（2020·河南省高三）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于______． 专题05 破译空间中有关外接球的问题 一、单选题 1．（2020·重庆市育才中学高三月考）过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题画出图形,设球心为,则为一条半径,为中点,过点的平面与所成角为30°,截面的圆心为,截面与球一交点为,则,截面,则,, 设,则,, 所以在中,,则, 所以所得截面的面积与球的表面积的比为,故选:C 2．（2020·湖北省高三）已知三棱锥的所有顶点在球的球面上，平面，是等腰直角三角形，，是的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点是的外心，过点作平面使， 是外接球球心，半径设为，则. 在直角梯形中，，，，得， 过点作球的截面，当截面时，截面面积最小， 此时截面圆的半径为， 截面面积的最小值是.故选：B. 3．（2020·福建省高三月考）在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为，