数学建模培训课程.pptx

第1讲 数学的巧妙应用;分析：规则是两同种颜色中加黑色棋子，两异种间加白色棋子即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，这与有理数乘法的符号规则相似。以1表示黑色，-1表示白色，开始摆的8颗棋子记为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8。 我们仅关心棋子的颜色，故ak=1或-1（k=1，2，...8），下次在a1与a2中间摆的棋子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定，这儿a1a2的值正好是a1与a2中间所放棋子的颜色。类似akak+1 正好给出了所放棋子的颜色，就这样一次次放下去，各次颜色均可由下面的数确定： 第0次 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 第1次 a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a5a6 a6a7 a7a8 a8a1 第2次 第3次 第8次 在原来摆的基础上，最多经过8次变换以后，各个数都变成+1，意味着所有棋子都是黑色，以后重复上述过程，颜色就不再变化了。 可以得到以下规律： （1）当 ，最多可以经过2m次变换以后使棋子全部变黑 （2）当n=2m+1时，至少有些情况下不会全部变黑。;2.跑步问题;3.椅子的稳定性问题;分析：将4条腿转化为2对腿，将在正方形对角线上的2条腿记为1对。开始时AC和BD两对腿都在坐标轴上。 将椅子中心固定，将AC和BD两对腿逆时针转过角度θ，记AC这1对腿到地面的距离之和为f(θ),记BD这1对腿到地面的距离之和为g(θ),由定义 f(θ)=0, g(θ)=0  又由于在任何位置至少有3条腿同时着地，故f(θ)和g(θ)之一必为零，我们需要证明至少有一个θ0使得 f(θ0)=g(θ0)=0不妨设 f(0)0, g(0)=0，定义函数 h(θ)=f(θ)-g(θ) h(θ)是θ的连续函数，且h(0)0,由正方形的对称性和f(θ)及g(θ)的定义，当 时，AC和BD两对腿恰好交换了位置，此时必有 ;由连续函数介值定理，必有一个 使得 h(θ0)=f(θ0)-g(θ0)=0 即此时f(θ0)=g(θ0)=0，椅子能够放稳。;4.相识问题;不妨考虑u1与其余的5个顶点，不是在G中相邻，就是在 中相邻，因此在G中或 中至???有3个点相邻，不妨假定在G 中，有边 见图 （1）若 这3个点有两个点在G中相邻，比如说 则有 这3个顶点的完全图K3即为所求。 （2）若 这3个点任两个点在G中不相邻，则在 中 这3个顶点的完全图K3即为所求。至此问题得证。 相识问题也可以用图的染色来解决，仍用6个顶点 表示6个人，作此6个顶点的完全图G，若某两个人互相认识，连接相应两个点的边就染红色，否则染蓝色，于是问题转化为：在G中存在一个同色三角形K3 。 从点u1（不失一般性）引出的5条边只有两色，必定有3条或更多的边染了同一种色 ，不妨假定 为红色。 （1）若 的3条边均为蓝色，那么该三角形即为所求。 （2）若 有1条边，比如 是红色，那么 就3边均红色的同色三角形。 类似，读者可解决下列问题 （1）9个人中一定有3个人互相认识或者4个人互相不认识。 （2）14个人中一定有3个人相互认识或者5个人相互不认识。;5.铺瓷砖问题;分析：在图上黑白相间地染色。仔细观察发现共有19个白格和21个黑格。一块长方形瓷砖可以盖住1白1黑2个方格。所以铺上19块长方形瓷砖，总要剩下2个黑格无法铺，因一个长方形瓷砖是无法盖住2个黑格的。 解决这一问题所用的方法在数学上称为奇