精选初级中学不定方程方程组练习题.pdf

不定方程、方程组 所谓天才人物指的就是具有毅力的人、 勤奋的人、入迷的人和忘 我的人． ——————木村六一 【知识纵横】 不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组） ，其特点是解往往有无 穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程 （组），我们往往限定只求整数解， 甚至只求正整数解， 加上条件限制后， 解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元 一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设 a 、b、c、d 为整数，则不定方程 ax by c 有如下两个重要命题： （1） 若 (a, b) d ，且 d 不能被 c 整除，则不定方程 ax by c 没有整数解； （2 ） 若 x0 , y0 是 方 程 ax by c 且 (a,b) 1 的 一 组 整 数 解 （称 特 解 ）， 则 x x0 bt (t 为整数）是方程的全部整数解（称通解） ． y y0 at 解不定方程（组） ，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进 行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、 因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等． 【例题求解】 例 1 （1）正整数 m, n 满足 8m 9n mn 6 ，则 m 的最大值为 _____________ ． （2 ）小纪念册每本 5 元，大纪念册每本 7 元．小明买这两种纪念册花了 142 元，则两 种纪念册最少共买 _______________ 本． 例2 如图， 在高速公路上从 3 千米处开始， 每隔 4 千米设一个速度限制标志， 而且从 10 千 米处开始， 每隔 9 千米设一个测速照相标志， 则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志． 问 下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）． 例3 （1）求方程 15x 52 y 6 的所有整数解． （2 ）求不定方程 5x 7 y 978 的正整数解的组数． 1 1 1 5 （3 ）求方程 的正整数解． x y z 6 例4 一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒， 3 粒， 4 粒或 6 粒地取出，最终盒 内都剩一粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？ 例5 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问 鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 1 / 3 例6 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每人 31 个核桃，三 组的核桃总数是 365 个，问三个小组共有多少名同学？ 【学力训练】 基础夯实 1、 已知 x, y , z 满足 x y 5及z2 xy y 9 ，则 x 2y 3z ______________ ． 2 2 2