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抽象函数·专题 一、破茧成蝶之--化繁就简 1、 = 1 \* GB3 ①一次函数抽象函数 模型： = 2 \* GB3 ②正比例函数抽象函数 模型： 2、指数函数抽象函数 模型： 3、对数函数抽象函数 模型： 4、幂函数抽象函数 模型： 二、破茧成蝶之--一览无余 对称性： 一、对称性与周期性 1、已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2、已知满足，则以下四个选项一定正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 3、已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4、已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5、定义在上的函数关于点成中心对称，且对任意的实数都 有，，，则(　　) A．0 B．－2 C．2 D．－4 二、定义域问题 例：1、已知y=f（x）的定义域为（1,3），求y=f（2x-1）的定义域 2、已知y=f（2x-1）的定义域为（1,3），求f（x）的定义域 3、已知y=f（2x+1）的定义域为（3,7），求f（3x+2）的定义域 练习： 1、若函数y = f（x）的定义域是[－2，2]，则函数y = f（x+1）+f（x－1）的定义域为 。 2、已知函数f(x)的定义域是 ，求函数 的定义域. 3、已知函数的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 4、定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。 三、值域问题 1、已知函数f（x）满足下列条件：当x﹥0时，f（x）﹥0，且f（-1）=-2，f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）在-2,1 2、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在,使得，求函数f(x)的值域。 四、单调性问题 1、设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x0时f(x)0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 2、设f(x)定义于实数集上，当x0时，f(x)1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。 3、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时， （1）f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式 4、已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－)=0,当x－时，f(x)0.求证：f(x)是单调递增函数； 5、定义在R+上的函数f(x)满足: ①对任意实数m,f(xm)=mf(x); ②f(2)=1。(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y都成立; (2)证明f(x)是R+上的单调增函数; (3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x 的取值范围. 6、设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a，b，当a+b≠0，都有 ＞0，若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小； 五、奇偶性问题 1、已知函数f(x)(x≠0的实数)对任意不等于零的实数x、y都有f(x﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。 2、已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x= 3、已知函数f(x)的定义域关于原点对称且满足，（2）存在正常数a，使f(a)=1.求证：f(x)是奇函数。 4、设是定义在上的偶函数，且在上是增函数，又。求实数的取值范围。 5、定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 6、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论; 六、求值问题 1、对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 2、R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由y=f(x+1)与y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)= . 3、已知f(x