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5. 二项分布 4. 伯努利试验 一、事件的相互独立性 二、伯努利试验 三、小结 3.4-3.5 事件的独立性 一、事件的独立性 引例 盒中有5个球（3绿2红），每次取出一个，有放回地取两次，记 A=第一次抽取取到绿球 B=第二次抽取取到绿球 则有 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小 1. 定义 注. 1o 说明 事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 两个事件的独立性 2o 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念. 两事件相互独立 两事件互斥 例如 二者之间没 有必然联系 独立是事件间的概率属性 互斥是事件间本身的关系 1 1 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥. 两事件相互独立 两事件互斥. 由此可见两事件互斥但不独立. 又如： 两事件相互独立. 两事件互斥 2.性质 (1) 必然事件? 及不可能事件?与任何事件A相互独立. 证 ∵ ?A=A, P(?)=1 ∴ P(?A) = P(A)=1? P(A)= P(?) P(A) 即 ?与A独立. ∵ ?A=?, P(?)=0 ∴ P(?A) = P(?)=0= P(?) P(A) 即 ?与A独立. (2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① ② ③ 证 ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭. 且A与B相互独立 ③ 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率. 解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 } C={敌机被击中 } 依题设, 例1 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立. = 0.8 1. 三事件两两独立的概念 多个事件的独立性 定义 2. 三事件相互独立的概念 定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(2≤k≤n), 及 1≤i 1 i 2 ··· i k≤n 3. n 个事件的独立性 定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 ≤i j ≤n, 有 定义 注. 设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在这四张卡片上依次标有下列各组数字：110，101，011，000 从袋中任取一张卡片，记 证明： 例2 证 (1) 110，101，011，000 两个结论 n 个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 也相互独立 即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于 1减去各自对立事件概率的乘积. 结论的应用 若设n个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少有一个不发生”的概率为 “ =1- p1 … pn 则“ 至少有一个发生”的概率为 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率. 解 则 例3 依题设， 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机 , 例4 因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 则称这n次重复试验为n重伯努利试验，简称为伯努利概型. 若n 次重复试验具有下列特点： 二、n 重伯努利(Bernoulli)试验 1) 每次试验的可能结果只有两个A 或 2) 各次试验的结果相互独立， ( 在各次试验中p是常数，保持不变） 实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就是 n重伯努利试验. 一般地，对于伯努利概型，有如下公式： 定理 如果在伯努利试验中，事件A出现的概率为p (0p1), 则在n次试验中，A恰好出现 k 次的概率为： 2. 二项概率公式 推导如下： 且两两互不相容. 称上式为二项分布. 记为 例5 解 经计算得 三、小结