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数学需要观察,大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用,认为“观察是一件极为重要的事”。本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住,观察不只是用眼睛看,还要用脑子想,要充分发挥想像力。
例1:数一数,图2-1和图2-2中各有多少黑方块和白方块?
?
解:仔细观察图2-1,可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块,共有8行,所以:
黑方块是:4×8=32(个)
白方块是:4×8=32(个)
再仔细观察图2-2,从上往下看:
第一行白方块5个,黑方块4个;
第二行白方块4个,黑方块5个;
第三、五、七行同第一行,
第四、六、八行同第二行;
但最后的第九行是白方块5个,黑方块4个。可见白方块总数比黑方块总数多1个。
白方块总数:5+4+5+4+5+4+5+4+5=41(个)
黑方块总数:4+5+4+5+4+5+4+5+4=40(个)
再一种方法是:
每一行的白方块和黑方块共9个.
共有9行,所以,白、黑方块的总数是:
9×9=81(个)
由于白方块比黑方块多1个,所以白方块是41个,黑方块是40个。
例2:图2-3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成,中间有个“雪花”状的墙洞,问需要几块正六边形的砖(图2-4)才能把它补好?
解:仔细观察,并发挥想象力可得出答案,用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画,就会看得更清楚了。
例3:将8个小立方块组成如图2-5所示的“丁”字型,再将表面都涂成红色,然后就把小立方块分开,问:
(1)3面被涂成红色的小立方块有多少个?
(2)4面被涂成红色的小立方块有多少个?
(3)5面被涂成红色的小立方块有多少个?
解:如图2-6所示,看着图,想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后,只有那些“粘在一起”的面(又叫互相接触的面),没有被涂色.每个小立方体都有6个面,减去没涂色的面数,就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面,参看图2-6所示.
(1)3面涂色的小立方体共有1个;
(2)4面涂色的小立方体共有4个;
(3)5面涂色的小立方体共有3个。
例4:如图2-7所示,一个大长方体的表面上都涂上红色,然后切成18个小立方体(切线如图中虚线所示)。在这些切成的小立方体中,问:
?
(1)1面涂成红色的有几个?
(2)2面涂成红色的有几个?
(3)3面涂成红色的有几个?
解:仔细观察图形,并发挥想像力,可知:
(1)上下两层中间的2块只有一面涂色;
(2)每层四边中间的1块有两面涂色,上下两层共8块;
(3)每层四角的4块有三面涂色,上下两层共有8块。最后检验一下小立体总块数:
2+8+8=18(个)。
练习巩固
1.如图2-8所示,数一数,需要多少块砖才能把坏了的墙补好?
2.图2-9所示的墙洞,用1号和2号两种特型砖能补好吗?若能补好,共需几块?
?
3.图2-10所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块?
?
4.如图2-11所示,一个木制的正方体,棱长为3寸,它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1寸的小正方体。
求:(1)3面涂成红色的有多少块?
(2)2面涂成红色的有多少块?
(3)1面涂成红色的有多少块?
(4)各面都没有涂色的有多少块?
(5)切成的小正方体共有多少块?
5.图2-12所示为棱长4寸的正方体木块,将它的表面全染成蓝色,然后锯成棱长为1寸的小正方体.
?
问:(1)有3面被染成蓝色的多少块?
(2)有2面被染成蓝色的多少块?
(3)有1面被染成蓝色的多少块?
(4)各面都没有被染色的多少块?
(5)锯成的小正方体木块共有多少块?
6.图2-13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面(包括底面)全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块?
7.图2-14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围成的,你知道哪一条绳子长吗?(仔细观察,想办法比较出来).
习题解答
1.解:用10块砖可把墙补好,可以从下往上一层一层地数(发挥想像力):
共1+2+2+1+2+2=10(块)。
如果用铅笔把砖画出来(注意把砖缝对好)就会十分清楚了,如图2-15所示。
2.解:仔细观察,同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块,也就是共需(如图2-16所示)
1+2=3(块)
3.解:因为图形复杂,要特别仔细,最好是有次序地按行分类数,再进行统计:
4.解:
(1)3面涂色的有8块:它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块。
(2)2面涂色的有12块:它们是上、下两层每边中间的那块共8块和
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