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经典题解题技巧大全
【割补】
在数学中,把图形的某个部分割下,补到某一个新的位置,往往可以使新的图形,更便于发现数量关系,从而较快地解答出数学题目。
例如,在图4.38中,三个圆的面积都是12.56平方厘米,且三个圆两两相交,三个交点都是圆心,求三块阴影部分的面积。
从表面上看,题目是无法解答的。但只要仔细观察就能发现,根据轴对称性及割补方法,题目可作如下的解答:
如图4.39,将图形1翻折到图形2的位置;再将图形3和4割下来,合并在一起,补到图形5的位置上。于是,原来的阴影部分就正好拼成了一个半圆。所以,三块阴影部分的面积是12.56÷2=6.28(平方厘米)
【拼接,截割】
(1)平面图形的拼接、截割。
拼接和截割,是两个相反的过程。平面图形的拼接是把两个或两个以上的图形拼接在一起;平面图形的截割,是把一个图形截割成两个或两个以上的图形。
平面几何图形拼接或截割以后,面积和周长的变化有以下规律:
①两个或两个以上的图形拼接成一个新的几何图形,它的面积等于原来若干个几何图形的面积之和;而周长却会比原图形周长之和要短。如果拼接部分的总长度为a,那么拼接后减少的周长就是2a。
②把一个平面几何图形截割以后,各小块图形的面积之和,等于原图形的面积;但截割后各小块几何图形的周长之和,要比原图形的周长要长。若所有截割部分长度为a,那么截割后增加的长度就是2a。
依据这一规律,可快速地解答一些几何问题。例如,如图4.40,正方形被均分为大小、形状完全相同的三个长方形,每个长方形周长都是48厘米,求正方形的周长。
解题时,可以把大正方形看成是三个小长方形拼接而成的,三个小长方形的拼接部分,都是小长方形的长,长度等于大正方形的“边长”。拼接以后的图形(大正方形)的周长,比原来的三个小长方形的周长之和,要减少4个“边长”,而这4个“边长”正好相当于大正方形的周长。这就是说,三个小长方形的周长之和里,刚好包含有两个大正方形的周长。所以,正方形的周长是
48×3÷2
=144÷2
=72(厘米)
(2)立体图形的拼接、截割。立体几何图形拼接或截割以后,它的体积和表面积的变化,有以下规律:
①两个或两个以上的几何体,拼接成一个新几何体以后,它的体积等于原来若干个几何体体积之和;但是它的表面积却比原来若干个几何体的表面积之和要小。如果重叠部分为S,那么减少的面积就是2S。
②把一个几何体截割以后,各部分的体积之和等于原几何体体积;但截割后的表面积之和,却大于原几何体的表面积。如果其中的截割面积为S,那么,增加的表而积就是2S。
依据这一规律,可以较快地解答出某些题目。例如,如图4.41,把一个棱长为5厘米的正方体木块锯成两个形状大小完全相同的长方体(不计损耗),表面积会增加多少平方厘米?
因为正方体木块的截割面积为5×5=25(平方厘米),依据上面的规律可知,表面积会增加
25×2=50(平方厘米)
又如,把长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块截成形状、大小相同的两个长方体,表面会增加多少平方厘米?
由于此题未交代从何处下手截割,所以要分三种情况来解答题目。
①如图4.42左图的截法,表面积会增加。
5×6×2=30×2=60(平方厘米)
②如图4.42中图的截法,表面积会增加。
10×6×2=60×2=12(平方厘米)
③如图4.42右图的截法,表面积会增加
10×5×2=50×2=100(平方厘米)
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