高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结.pdf

WORD格式 - 专业学习资料 - 可编辑 二面角的求法 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫 做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角 的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S—AM — B 中半平面 ABM 上的一已知 点（ B ）向棱 AM 作垂线，得垂足（ F）；在另一半平面 ASM 内过该垂足（ F ）作棱 AM 的垂线（如 GF ）， 这两条垂线（ BF、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助 直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例 1 如图，四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ， AD 2 DC SD 2 ，点 M 在侧棱 SC 上， ABM =60 ° （I ）证明： M 在侧棱 SC 的中点 （II ）求二面角 S AM B 的大小。 证（ I ）略 解 （II ）：利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF AM 交 AM 于点 F ，则点 F 为 AM 的中点，过 F 点在平面 ASM 内作 GF AM ，GF 交 AS 于 G， 连结 AC ，∵△ ADC≌△ ADS，∴ AS-AC，且 M是 SC 的中点， ∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴ GF∥AS，又∵ F 为 AM 的中点， G F ∴GF是△ AMS的中位线，点 G是 AS 的中点。 2 则 GFB 即为所求二面角 . ∵ SM 2 ，则 GF ， 2 0 又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ， ABM 60 ∴△ ABM 是等边三角形，∴ 6 0 3 11 BF 3 。在△ GAB 中， AG ， AB 2 ， GAB 90 ，∴ BG 4 2 2 2 1 11 2 2 2 3 GF FB BG 2 2 2 6 cos BFG 2GF FB 2 6 3 G 2 3 2 F 6 ∴二面角 S AM B 的大小为 arccos( ) 3