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二面角的求法
一、 定义法:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 这两个半平面叫
做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就是二面角
的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例 1 中从二面角 S—AM — B 中半平面 ABM 上的一已知
点( B )向棱 AM 作垂线,得垂足( F);在另一半平面 ASM 内过该垂足( F )作棱 AM 的垂线(如 GF ),
这两条垂线( BF、GF )便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助
直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例 1 如图,四棱锥 S ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD 底面 ABCD , AD 2
DC SD 2 ,点 M 在侧棱 SC 上, ABM =60 °
(I )证明: M 在侧棱 SC 的中点
(II )求二面角 S AM B 的大小。
证( I )略
解 (II ):利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF AM 交 AM 于点 F ,则点 F 为
AM 的中点,过 F 点在平面 ASM 内作 GF AM ,GF 交 AS 于 G,
连结 AC ,∵△ ADC≌△ ADS,∴ AS-AC,且 M是 SC 的中点,
∴AM⊥SC, GF⊥AM,∴ GF∥AS,又∵ F 为 AM 的中点, G
F
∴GF是△ AMS的中位线,点 G是 AS 的中点。
2
则 GFB 即为所求二面角 . ∵ SM 2 ,则 GF ,
2
0
又∵ SA AC 6 ,∴ AM 2 ,∵ AM AB 2 , ABM 60 ∴△ ABM 是等边三角形,∴
6 0 3 11
BF 3 。在△ GAB 中, AG , AB 2 , GAB 90 ,∴ BG 4
2 2 2
1 11
2 2 2 3
GF FB BG 2 2 2 6
cos BFG
2GF FB 2 6 3 G
2 3
2 F
6
∴二面角 S AM B 的大小为 arccos( )
3
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