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关于椭圆离心率
2 2
x y
设椭圆 1 (a b 0) 的左、右焦点分别为 F 、F ,如果椭
2 2 1 2
a b
圆上存在点 P,使 F PF 90 ,求离心率 e 的取值范围。
1 2
解法 1:利用曲线范围
设 P (x ,y ),又知 F c F c
1 ( , 0), 2 ( ,0 ) ,则
将这个方程与椭圆方程联立,消去 y ,可解得
解法 2 :利用二次方程有实根
由椭圆定义知
解法 3 :利用三角函数有界性
记 PF F , PF F ,由正弦定理有
1 2 2 1
解法 4 :利用焦半径
由焦半径公式得
解法 5 :利用基本不等式
由椭圆定义,有 2a | PF | |PF | 平方后得
1 2
解法 6 :巧用图形的几何特性
由 F PF 90 ,知点 P 在以 |F F | 2c 为直径的圆上。
1 2 1 2
又点 P 在椭圆上,因此该圆与椭圆有公共点 P
故有 c b c2 b2 a 2 c 2
演练
一、直接求出 a,c 或求出 a 与 b 的比值,以求解 e 。
2 2 2 2
c c c a b b
在椭圆中, e , e 1
2 2 2
a a a a a
3
1. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于
2
2
2. 已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2 倍,则其离心率为
2
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