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导数三角十八论 第一讲 泰勒解读 常见表达式： 3 5 7 x x x    sin①x=x- + - +... 3! 5! 7! 2 4 6 x x x    cos②x=1- + - +... 2!1 4! 6!2 17 π 3 5 7 7 tan③ x=x+    3x + x + x +0(x )(x )  x 3 15 315 2  x④- ≤sinx≤x(当且仅当x=0时等号成立) 6 2 2 4 x x x    1⑤- ≤cosx≤1- + (当且仅当x=0时等号成立) 2 x 2 24 tan⑥ x2(0x1) 1-x3 x π   tan⑦ xx+ (x )3  2 π  sin⑧x≤x≤tanx (0≤x )(当且仅当x=0时等号成立)2 π  sin⑨x+tanx≥2x (0≤x )(当且仅当x=0时等号成立)2 2 π  sin⑩x⋅tanx≥x (0≤x )(当且仅当x=0时等号成立)2 ·1· 第二讲 异构证不等式 π 2 2x  【例(12021】 •江淮质检)当x∈[0， ]时，求证：3x −sinx≤xe ． 2 【例(22006】 •湖南)已知函数f(x)=x−sinx，数列 a 满足：0a 1，a =f(a )，n=1，2，3．．．  证明： n 1 n+1 n (1)0a a 1； n+1 n (2)a 1a ．3 n+1 6 n x 【例(32021】 •4月份模拟)已知函数f(x)=e -x-a，对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立． (1)求实数a的取值范围； π x  (2)证明：当x∈[0, ]时，cosx+tanx≤e ． 4 ·2· x 【例(42021】 •昆明一模)已知函数f(x)=e -cosx-ax(a∈R)． (1)若f(x)在[0，+∞)上单调递增，求a的取值范围； x 2 (2)证明：∀x∈[0，+∞)，xe ≥sinx+2sinx-sinxcosx．