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2018年海南高考理科数学真题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．已知集合，则中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数的图像大致为 4．已知向量，满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D． 6．在中，，，，则 A． B． C． D． 7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A． B． C． D． 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A． B． C． D． 9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 10．若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D． 11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A． B．0 C．2 D．50 12．已知，是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．曲线在点处的切线方程为__________． 14．若满足约束条件则的最大值为__________． 15．已知，，则__________． 16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分。 17．（12分） 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 18．（12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程 （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 20．（12分） 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 21．（12分） 已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为 （为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围． 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 9．C 10．A 11．C 12．D 二、填空题 13． 14．9 15． 16． 三、解答题 17．解： （1）设的公差为d，由题意得． 由得d=2． 所以的通项公式为． （2）由（1）得． 所以当n=4时，取得最小值，最小值为?16． 18．解： （1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 (亿元)． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： （ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010