考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练5含解析.pdfVIP

高效复习 解答题滚动练 5 1.(2017 北京· ) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， 点 M 在线段 PB 上， PD ∥平面 MAC ，PA＝ PD ＝ 6 ，AB ＝4. (1)求证： M 为 PB 的中点； (2)求二面角 B －PD －A 的大小； (3)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值 . (1)证明 设 AC ，BD 交于点 E ，连接 ME ，如图 . 因为 PD ∥平面 MAC ，平面 MAC ∩平面 PDB ＝ ME ， 所以 PD ∥ME . 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 E 为 BD 的中点， 所以 M 为 PB 的中点 . (2)解 取 AD 的中点 O，连接 OP ，OE. 因为 PA ＝PD ，所以 OP ⊥AD ， 又因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ，且 OP? 平面 PAD ， 所以 OP ⊥平面 ABCD . 因为 OE? 平面 ABCD ，所以 OP ⊥OE . 因为四边形 ABCD 是正方形， 所以 OE ⊥AD . 如图，建立空间直角坐标系 Oxyz， → → 则 P(0 ，0 ， 2) ，D(2 ，0， 0) ，B( －2，4，0) ，BD ＝(4 ，－4 ，0) ，PD ＝(2 ，0 ，－ 2). 设平面 BDP 的法向量 n＝(x ，y，z)， 高效复习 → n ·BD ＝0 ， 4x－4y ＝0， 则 即 → 2x－ 2z＝0. n ·PD ＝0 ， 令 x ＝1，则 y ＝1，z＝ 2. 于是 n＝(1 ， 1， 2). 平面 PAD 的法向量为 p＝(0 ， 1， 0) ， n ·p 1 所以 cos 〈n ，p〉＝ ＝ . |n||p| 2 由题意知二面角 B －PD －A 为锐角， π 所以它的大小为 . 3 2 → 2 (3)解 由题意知 M －1，2， ， C(2，4 ，0) ，MC ＝ 3，2 ，－ . 2 2 设直线 MC 与平面 BDP 所成的角为 α，则 → → |n ·MC| 2 6 sin α＝|cos 〈n ，MC 〉 |＝ ＝ ， → 9 |n||MC | 2 6 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 . 9 2.(2017