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高效复习
第 30 练 与抛物线有关的热点问题
[题型分析 高考展望· ] 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛
物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点．考查形式有选择题、填空题
也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上．
体验高考
2 2 2 2
1．(2015 四川· )设直线 l 与抛物线 y ＝4x 相交于 A，B 两点，与圆 (x－5) ＋y ＝r ( r ＞0)相切于
点 M ，且 M 为线段 AB 的中点，若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 ( )
A ．(1,3) B ．(1,4) C ． (2,3) D ．(2,4)
答案 D
解析 设 A (x ，y ，y ，y
1 1)，B(x2 2) ，M(x0 0) ，
2
y ＝4x ，
1 1
则 相减得 (y ＋y )(y －y ) ＝4(x －x )，
2 1 2 1 2 1 2
＝4x ，
y2 2
当直线 l 的斜率不存在时，符合条件的直线 l 必有两条；当直线 l 的斜率 k 存在时，
y1＋y2 y1 －y2
如图 x ≠x ，则有 ＝2 ，即 y
1 2 · 0 ·k＝2 ，
2 x 1－x2
y0 －0
由 CM ⊥AB 得， k · ＝－ 1，y ，x ＝3 ，即 M 必在直线 x ＝3 上，将 x
0 ·k ＝5 －x0,2＝5－x0 0
x0 －5
2 2
＝3 代入 y ＝4x ，得 y ＝12 ， ∴－2 3 ＜y ＜2 3 ， ∵点 M 在圆上，
0
2 2 2 2 2
∴(x －5) ＋y ＝r ，r ＝y ＋4 ＜ 12＋4 ＝16，
0 0 0
2 2
又 y ＋4 ＞4 ， ∴4 ＜r ＜ 16， ∴2 ＜r ＜4.故选 D.
0
2
2 ．(2015 浙江· )如图，设抛物线 y ＝4x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A ，
B ，C ，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则△ BCF 与△ ACF 的面积之比是 ( )
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