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高效复习
第 42 练 不等式选讲
[ 题型分析 ·高考展望 ] 本部分主要考查绝对值不等式的解法 .求含绝对值的函数的值域及求
含参数的绝对值不等式中参数的取值范围， 不等式的证明等， 结合集合的运算、 函数的图象
和性质、 恒成立问题及基本不等式， 绝对值不等式的应用成为命题的热点， 主要考查基本运
算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想 .
体验高考
1 1
1.(2016 课标全国甲· )已知函数 f (x) ＝ x－2 ＋ x ＋2 ，M 为不等式 f (x)2 的解集 .
(1) 求 M ；
(2)证明：当 a，b ∈M 时， |a＋b||1＋ab|.
1
－2x，x ≤ － ，
2
1 1
(1)解 f(x)＝ 1，－ x ，
2 2
1
2x，x ≥ .
2
1
当 x≤ － 时，
2
由 f (x)2 得－ 2x2 ，
1
解得 x －1，所以－ 1x≤ － ；
2
1 1
当－ x 时， f (x)2 ；
2 2
1
当 x ≥ 时，由 f (x)2 得 2x2 ，
2
解得 x1 ，
1
所以，－ x1.
2
所以 f(x)2 的解集 M ＝{ x |－1x1}.
(2)证明 由(1) 知，当 a ，b ∈M 时，－ 1a1 ，－ 1b1 ，
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
从而 (a ＋b) －(1 ＋ab) ＝a ＋b －a b － 1＝(a －1)(1 －b )0 ，即 (a＋b) (1 ＋ab) ，
因此 |a＋ b||1＋ab|.
2.(2016 课标全国丙· )已知函数 f (x) ＝|2x－a |＋a.
(1) 当 a ＝2 时，求不等式 f(x)≤ 6 的解集；
(2) 设函数 g(x) ＝|2x －1|.当 x ∈R 时， f (x)＋g(x)≥3 ，求 a 的取值范围 .
解 (1)当 a ＝2 时， f (x) ＝|2x－2|＋2.
高效复习
解不等式 |2x－2|＋2 ≤6 得－ 1≤x≤ 3.
因此 f(x)≤ 6 的解集为 { x|－ 1≤x ≤3}.
(2) 当 x ∈R 时，
f (x) ＋g(x) ＝|2x－a |＋a ＋|1－2x|
≥|2x －a＋ 1－2x|＋a
＝|1－a |＋a ，
1
当 x ＝ 时等号成立，
2
所以当 x ∈R 时，
f (x) ＋g(x) ≥3 等价于 |1－a |＋a ≥3.①
当 a≤ 1 时， ① 等价于 1－a ＋a≥3，无解 .
当 a＞1 时， ① 等价于 a －1＋a≥3，
解得 a≥2.
所以 a 的取值范围是 [2
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