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函数y=log3(2x2+13)的主要性质
主要内容:
本文主要介绍的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等性质,并通过导数知识计算函数y=log3(2x2+13)的单调增区间和单调减区间。
函数定义域:
根据对数函数的定义域要求,函数的真数部分为非负数,即要求:2x2+130,根据该不等式的特征,可知不等式恒成立,即
函数y的定义域为全体实数,即定义域为:(-∞,+∞)。
函数单调性:
y=log3(2x2+13),
eq \f(dy,dx) =eq \f(d(2x2+13),ln3(2x2+13)) ,
eq \f(dy,dx) =eq \f(4x,ln3(2x2+13)) ,令eq \f(dy,dx) =0,则:x=0,即有:
(1)当x∈[0,+∞)时,eq \f(dy,dx) ≥0,此时函数单调递增,区间为增区间;
(2)当x∈(-∞,0)时,eq \f(dy,dx) <0,此时函数单调递减,区间为减区间。
函数凸凹性:
eq \f(dy,dx) =eq \f(4x,ln3(2x2+13)) ,
eq \f(d2y,dx2)=eq \f(4,ln3) *eq \f((2x2+13)-x*4x,(2x2+13)2) ,
eq \f(d2y,dx2)=eq \f(4,ln3) *eq \f(13-2x2,(2x2+13)2) ,令eq \f(d2y,dx2)=0,则x2=eq \f(13,2) ,即:
x1=-eq \f(\r(26),2),x2=eq \f(\r(26),2)。
(1). 当x∈(-∞, -eq \f(\r(26),2)) ,(eq \f(\r(26),2),+∞)时,eq \f(d2y,dx2)<0,此时函数为凸函数;
(2). 当x∈[-eq \f(\r(26),2),eq \f(\r(26),2)]时,eq \f(d2y,dx2)≥0,此时函数为凹函数。
函数奇偶性:
设f(x)=log3(2x2+13),则有:
f(-x)=log3[2*(-x)2+13]=log3(2x2+13)=f(x),
即函数偶函数,函数图像关于y轴对称。
函数的极限:
lim(x→-∞)log3(2x2+13)=+∞,
lim(x→0)log3(2x2+13)=log313,
lim(x→+∞)log3(2x2+13)=+∞。
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