中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线.docVIP

第1讲角平分线 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 OA于定理的数学表示：如图，已知 0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若 OA于 点 C, DF OB 于点 D，则 CF = DF. 逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解 模型1-BD平分/ ABC,且 DC BC 理由：角平分线的性质 结论：△ DCB2 △ DEB 模型 2 一 BD 平分/ ABC, 且 CD BD 理由：等腰三角形三线合一结论：△ BDC BDE 模型 3-BD 平分/ ABC, AD// BC 理由：平行线的性质 结论：△ ABD为等腰三角形 【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把EFBF和 【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把 EF BF和EF都求出来，所以需要转化 当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型 EF AG 1，所以这个辅助线与思路 【例题讲解】 例题 1、如图所示，在四边形 ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC, BF / ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是 EF BF EF 值得一试. 【解答】解：如图，作 FG AB于点G Q / DAB-90 Q / DAB-90°， FG/AD， BF EF BG AG QAC BC， / ACB =90° 又 QBF 平分/ ABC， FG = FC 在 RtA BGF 和 RtA BCF 中 AE 平分/ AE 平分/ BAC，AE CE 于点 E，且 AB =10， △ BGF BCF ( HL) ， BC = BG Q AC = :BC， / CBA =45°， AB = 2 BC BF BG BC BC 1 . 2 . EF AG AB BG .2BC BC 、2 I 2 1 CF GF 例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点, AC =16，贝U DE的长度为 【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题 【解答】解：如图，延长 CE, AB交于点F. QAE 平分/ BAC, AE EC / FAE = / CAE ,Z AEF = / AEC =90° 在厶AFE和厶ACE中 / EAF / EAC AE AE / AEF / AEC △ AFE 也 ACE (ASA) AF = AC = 16, EF = EC, BF = 6 又QD是BC的中点， BD =CD DE是厶CBF的中位线 1 DE = — BF =3 2 故答案为：3. 例题3、如图所示，在△ ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点 P在射 1 线EF 上, BP交CE于D，/ CBP的平分线交 CE于Q,当CQ =- CE时，EP+BP= . 3 【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型 3，即可构造出等腰三角形，结合相 似模型，即可解出答案. 【解答】解：如图，延长 BQ交射线EF于点M. QE、F分别是AB、AC的中点， EF// BC / CBM = / EMB Q BM 平分/ ABC , / ABM = / CBM / EMB = / EBM , EB = EM EP +BP = EP +PM =EM 1 QCQ = CE, EQ =2CQ 3 由 EF// BC 得，△ EMQ CBQ 2 EM 2BC 12 EP BP 12BC CQEM EQ 2 EM 2BC 12 EP BP 12 BC CQ 【巩固练习】 1、如图，/ AOB是一个任意角，在边 OA, OB上分别取OM =ON，移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与 M , N重合，过角尺顶点 C的射线OC便是/ AOB的平分线OC,做 法用得到三角形全等的判定定方法是（ ） A. SAS B.SSS C.ASA D.HL （第 1 题） （第 3 （第 1 题） （第 3 题） （第 4 题） ）B、三条高的交点 ） B、三条高的交点 D、三条角平分线的交点 A、三条边的垂直平分线的交点 C、三条中线的交点 3、如图，四边形 ABCD是平行四边形，BE平分/ ABC, CF平分/ BCD , BE、CF交于 1 TOC \o 1-5 \h \z G.若使EF = AD，那么平行四边形 ABCD应满足的条件是（ ） 4 A. /ABC =60° B. AB： BC = 1 : 4 C. AB： BC = 5： 2 D. AB： BC = 5： 8 4、 如图，△ ABC的周长为26,点D, E都在边BC上,/ ABC的平分线垂直于 AE,垂 足为Q,/ A