中考培优竞赛专题经典讲义第7讲双直角三角形模型.docVIP

40 40 453013514545456060aC东P45.60°lBA般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中/a和/卩的三角函数值为已知60 45 30 135 1 45 45 45 60 60 a C 东 P 45. 60° l B A 般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中/ a和/卩的三角函数值为已知 60 ° 45 105° 30 45、30 P处 求点P到海岸线 小船从点P处沿射线 15°的方向.求点 第7讲双直角三角形模型 双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条 直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质. 模型讲解 【例题讲解】 例题1、如图，在一笔直的海岸线 I上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB = 2(单位：km).有- 艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西 60°的方向，从B测得小船在北偏东 45°的方向. 求点P到海岸线I的距离； 小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点 C处，此时，从B测得小船在北偏西 C与点B之间的距离.(上述两小题的结果都保留根号 ). 解：⑴ 如图，过点 P作PD丄AB于点D .设PD = xkm. 在 Rt△ PBD 中，/ BDP = 90°,/ PBD = 90°— 45°= 45°,二 BD = PD = xkm . 在 RtA△ PAD 中，/ ADP = 90°,/ PAD = 90°— 60°= 30°,二 AD = 3 PD = 3xkm . T BD + AD = AB,「. x+ 3 x= 2, x=— 1 , ???点P到海岸线I的距离为(3 — 1)km; (2)如图，过点B作BF丄AC于点F. 在 Rt△ ABF 中，/ AFB = 90°,/ BAF = 30°,二 BF = 1 AB = lkm 2 在厶 ABC 中，/ C = 180°—/ BAC — / ABC= 45°. 在 Rt△ BCF 中，/ BFC = 90°，/ C = 45°,二 BC = 2 BF = 2 km , ???点C与点B之间的距离为 2 km . 例题2、如图，在一条笔直的东西向海岸线 I上有一长为1.5 km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东 60°方向，且与灯塔C相距12km .端N有20km .一轮船以36km/h的速度航行，上午 10: 00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏 西30°方向，上午10 :40 60°方向，且与灯塔C相距12km . 若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ (参考数据： (参考数据： 2沁1.4，-. 3沁1.7) 解：(1)延长AB交海岸线于点 解：(1)延长AB交海岸线于点 D, ???/ BEC =/ AFC = 90°, ? / ECB = 30°,/ ACF = 60 过点B作BE丄海岸线于点 E,过点 / EBC = 60°,/ CAF = 30 ° , °，?/ BCA = 90°, A作AF丄I于F，如图所示. ?/ BC = 12, AB= 36X = 24,「. AB= 2BC, ?/ BAC = 30°,/ ABC= 60°, 60 直线 直线y=- x的最短距离PQ的长度为 . ???/ABC =Z BDC +Z BCD = 60°,「./ BDC =Z BCD = 30°,「. BD = BC = 12, ???时间t = 12 = 1小时=20分钟，???轮船照此速度与航向航行，上午 11: 00到达海岸线. 36 3 （2） ?/ BD = BC , BE 丄 CD , ? DE = EC, 在 RTABEC 中，BC = 12,/ BCE = 30°, ? BE = 6, EC= 6 3 ?10.2 , ? CD = 20.4 , ??? 20 V 20.4 V 21.5，?轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头. 【巩固练习】 TOC \o 1-5 \h \z 1、如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为 30°和60°,如果这时气球的高度 CD为150 米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物 A、B间的距离为 . E 血匕尸 3吵 E B TOC \o 1-5 \h \z 2、如图，在高楼前 D点测得楼顶的仰角为 30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°,则该高 楼的高度大约为 .（保留整数） 3、如图是一山谷的横断面示意图， 宽AA为15m,用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出 OA = 1m, OB = 3m, O A = 0.5 m, OB= 3m（点A, O, O : A在同一条水平线上 ），则该山谷的深 h为 m. 4、如图