中考培优竞赛专题经典讲义第23讲轨迹问题之直线轨迹.docVIP

第23讲轨迹问题之直线轨迹 点的轨迹问题近年来在考试中经常出现，解决这类问题，首先得要了解，哪些条件会产生这类轨迹? 模型讲解 模型一：轨迹为直线 p定直线 p 定直线 动点p到定直线距离保持不变，点 p的轨迹为一直线 定直线 定直线 点p与定线段一端点连接后，与该线段所夹角保持不变，点 p的轨迹为一直线 【例题讲解】 例题1如图，已知 A= 10,点C、D在线段AB上，且AC = DB = 2, P是线段CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作等边△ AEP和等边△ PFB，连接EF，设EF的中点为G,当点P从点C 运动到点D时，则点G移动路径的长是 . A C P D B A C P D B 【解析】延长 AE、BF，相交于点H，连接HP 易得△ HAB为等边三角形，四边形 HEPF为平行四边形 ???平行四边形的对角线互相平分，且 G为FE中点 ??? G在HP上，且 G为HP的中点 ???当P从点C运动到点D时，G始终为HP的中点 G到AB的距离始终为点 H到AB的距离的半 ???点G的轨迹为直线 MN即为G点运动的路径长 例题2、如图，边长为2a的等边三角形 ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接 MB，将线 段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段 HN长度的最小值是 . 【解析】连接AN 易证△ ANB ◎△ CMB ???/ BAN = Z BCM = 30° t AB边为定边 ??? N在与AB夹角为30°的直线上运动 ???当HN丄AN时，HN最短（即为图中 N点） ???/ BAN = 30°, AH = 1 AB= a 2 ? HN = !ah = 1a 2 9 例题3、在平面直角坐标系中，点 P的坐标为（0, 2）,点M的坐标为（m— 1,— — m—— ）（其中m 4 为实数），则PM的最小值为 9 【解析】?点 M的坐标为（m— 1,— — m — 4 ???设 ???设 x= m — 1, y=— 9 —m—— 4 ? m= x+1 ② 3 将②式代入①式化简得y=-4x-3 3 ???点M在函数y= — — x— 3上运动，轨迹为直线 4 ???当PM丄AB时，PM最小 根据△ PMB AOB，即可得 PM = 4 ? PM的最小值为4 【巩固训练】 1、等边三角形 ABC中，BC = 6, D、E是边BC上两点，且BD = CE = 1,点P是线段DE上的一个动 点，过点P分别作AC、AB的平行线交AB、AC于点M、N，连接MN、AP交于点G，则点P由点D移动 到点E的过程中，线段 BG扫过的区域面积为 TOC \o 1-5 \h \z 2、如图，四边形 ABHK是边长为6的正方形，点 C、D在边AB上，且AC = DB = 1，点P是线段CD 上的动点，分别以 AP、PB为边在线段 AB的同侧作正方形 AMNP和正方形BROP, E、F分别为MN、QR 的中点，连接EF，设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为 . BH B H 3、如图，矩形 ABCD中，AB = 6, AD = 8，点E在边AD上，且 AE: ED = 1 : 3.动点P从点A出发， 沿AB运动到点B停止.过点E作EF丄PE交射线BC于点F,设M是线段EF的中点，则在点 P运动的整 个过程中，点 M运动路线的长为 4、在△ ABC中，/ BAC = 90°, AB= AC= 2cm,线段BC上一动点P从C点开始运动，至U B点停止, 以AP为边在AC的右侧做等边△ APQ，则Q点运动的路径长为 cm. 5、如图，在平面直角坐标系中， A (1, 4), B (3, 2), C ( m , - 4m+ 20),若0C恰好平分四边形 OACB的面积，贝U C点坐标为 . C C 6、如图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ ABC内接于O G, AB是O G的直径，AB= 6,AC = 2，现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图 2）,然后点A在射线Ox上由点O开始向 右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3）,当点B滑动至与点O重合时运动结束.在整个运 动过程中，点 C运动的路程是 图 图 7、在直角梯形 ABCD中，AB// CD , BC丄CD, AB = 3, CD = 4,在BC上取点P （P与B、C不重合）， 连接PA延长至E,使PA = 2AE,连接PD并延长到F ,使PD = 4FD ,以PE、PF为边作平行四边形，另 一个顶点为G,则PG长度的最小值为 . 8、如图，已知点 A是第一象限内横坐标为 ,3的一个定点，AC丄x轴于点M，交直线y=— x于点N. 若点P是线段ON上的一个动点，/