中考培优竞赛专题经典讲义第29讲存在性问题之特殊四边形.docVIP

0A AB 0A AB 3 4 4 0A AB 0A AB 3 4 4 第29讲 存在性问题之特殊四边形 菱形存在性问题，抓住邻边相等(即等腰三角形)和对角线垂直； 矩形存在性问题，抓住内角90°与对角线相等； 正方形存在性问题，抓住等腰直角三角形的性质即可 ? 【例题讲解】 例题1?如图,在Rt△ABC中，/C=90° AC=6cm,BC=8cm,点P从点B出发,沿BA方向以2cm/s的速度向终点 A 运动侗时，动点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向终点 B运动，将ABPQ沿BC翻折，点P的对应点 为点P,设Q点运动的时间t秒若四边形QPB P为菱形，求t的值? A P 解:若四边形QPBP为菱形,t=2秒理由如下： ???/ C=90° AC=BC,AA ABC 是等腰直角三角形，???/ABC=45°, ???点P的速度是每秒 2 cm,点Q的速度是每秒1cm,? BP= 2tcm,BQ=(6 — t)cm, ???四边形QPBP为菱形， ? 2t X 解:四边形CPBD不可能为菱形?如图所示，根据题意可得,AC= t,AP=3t 解:四边形CPBD不可能为菱形? 如图所示，根据题意可得,AC= t,AP=3t — 4,BP=3 — AP=7 — 3t,0C=4 — t, 因为 CD // AB,所以 A0CDs^OAB,所以 °C CD ,即 CD 土」,解得:CD = - (4— t), 因为CD=BP,所以-(4 —1)=7 — 3t,解得:t= 一,所以BP=5,在厶ACP中，由勾股定理得 9 3 2 2 即若四边形QPBP为菱形的值为2秒. 例题2?如图，已知0(0,0),A(4,0),B(4,3).动点P从0点出发，以每秒3个单位的速度，沿 AOAB的边0A、AB作 匀速运动；动直线I从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动?若它们同时出发， 运动的时间为t秒,当直线I运动到0时，它们都停止运动?当P在线段AB上运动时，设直线I分别与0A、0B 交于C、D,试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值;若不能，请说明理由，并说明如何改变 直线I的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形? 5516 11 5 5 16 11 5516 11 5 5 16 11 2 2 16 2 4 2 20 CP = AC AP ()() ，因为CPM BP,所以四边形 CPBD不可能为菱形 9 3 9 若要使四边形 CPBD为菱形 若要使四边形 CPBD为菱形，设直线比P点迟x秒出发则 AC AP OA AB CPBD 为菱形,则 CP // OB,所以△ ACPs\AOB,则 AC=t — x,AP=3t — 4,BP=CP=7 — 3t,因为四边形 CP OB , 则了3t 433t 47 3t 35 , 3t 43 则了 3t 4 3 3t 4 7 3t 3 5 , 3t 4 3 t x ，解得: 7 3t 5 41 24 5 24 即直线比 P点迟 5 5秒出发时可使四边形 24 CPBD为菱形. 3 例题3?如图，直线y= 4 x+3与y轴交于点A,与 x轴交于点B,点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿 BA边向终点A运动,同时点Q以相同的速度从坐标原点 O出发沿OB边向终点B运动，设点P运动的时间为 t秒. (1)求点A,B的坐标； ⑵在点P,Q运动的过程中，是否存在点N,使得以点A,P,Q,N为顶点的四边形是矩形 ？若存在，求t的值并直接 写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 3 解:(1)对于直线 y= x+3,令 x=0,得到 y=3,令 y=0 得到 x=4,二 A(0,3), B(4,0); 4 (2)存在以点APQN为顶点的四边形是矩形， 如图 2 所示，当/ APQ=90° 时，/ BPQ= / AOB=9O° BP t 4 16 4 29 由⑵得:cos/ PBQ= BP，即 t 4,解得:t= 16此时N坐标为(4 ,29) BQ 4 t 5 9 5 15 如果/ PAQ=90° /OAB 为锐角，/ PAQ/OAB, ???不成立，/ PAQm90° 如果/ AQP=90°当Q与O重合时,t=0,此时N坐标为(4,3), 4 当0t W5寸如图3所示过P作PM丄x轴于点M.由①得：MB = t, 5 9 --QM=OB — OQ — BM =4 — t, 5 ?// AOQ= / QMP = / AQP=90° ? / OAQ=/ MQP , ? Rt△AOQ sRt△QMP AOMQOM AO MQ OM，即4 9t 解得:t=5,此时N坐标为(5,J 综上所述:当 t的值为0, 2 2 16 2 2 16 2 4 2 20 CP =