中考培优竞赛专题经典讲义第9讲最值问题之将军饮马问题.docVIP

第10讲 最值问题之将军饮马问题 最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压 轴位置。 模型讲解 【基本模型】 问题：在直线I上找一点P,使得FA+ PB的值最小 解析：连接AB，与直线I交点即为点P（两点之间线段最短） 【拓展模型1】 问题：在直线/上找一点P,使得PA + PB的值最小 BA 的长度.I的交点即为点 BA 的长度. I的交点即为点P,此时 PA+ PB的最小值即为线段 【练习】 1、尺规作图：在直线 MN上找一点P,使得/ APN = Z BPN .（保留作图痕迹） A ■ 甘 jV 【模型拓展2】 1、如图，已知点 P为定点，定长线段 AB在直线MN上运动，在什么位置时， PA= PB最小? J F M / V t ! y 打 M. 弋厂一青 ◎…皿 ° * f ;/ 思维转化：将线段 AB移动，点P不动，理解为线段 AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为 最基本模型 【模型拓展3】 问题：/ J MON内一定点A,点P、Q分别为0M、ON上的动点，求△ APQ周长的最小值. 度即为△ APQ周长的最小值.A 度即为△ APQ周长的最小值. Al、A2,连接AiA2，与ON、OM交点即为Q、P,线段AiA2的长 基本结论: 厶A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段 OA的长. / AiOA2= 2/ MON . 四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段 AB+ A B的长度和. 【模型拓展4】 问题：求AB + BC + CD的最小值问题 解析：作点A关于ON的对称点A，点D关于OM的对称点D,连接A D ，最小值即为线段 A D 的长度. （作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将 OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整 ） 【模型拓展5】 MN垂直两平行线，求 AM + MN + NB的最小值模型. 其中MN为定值，故只需求 AM + NB的最小值，将点 A向下平移MN的长度得到A：连接AB,线段 AB的长度即为 AM + NB的最小值 直线I上有一长度不变线段 MN移动，求AM + MN + NB最小值的模型. 将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为 MN + A2B 【例题讲解】 例题1、如图，在平面直角坐标系中， Rt△ OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点 B的坐标为(3 , 3), 点C的坐标为(1, 0)，点P为斜边0B上的一动点，贝U PA + PC的最小值为 . 解：作A关于0B的对称点D,连接CD交0B于P,连接AP，过D作DN丄0A于N, 则此时PA + PC的值最小， ?/ DP = FA,a PA+ PC= PD + PC = CD , v B(3 , 3)，二 AB = 3 , 0A= 3, ?/ tan/A0B = AB = 3 A0B = 30°,「. 0B = 2AB= 2 3 , 0A 3 TOC \o 1-5 \h \z 11 3 3 由三角形面积公式得： 1 X 0AX AB= 1 X 0B X AM AM = 3 AD = 2X 3 = 3, 2 2 2 2 v/ AMB = 90°,/ B= 60 ° ,A/ BAM = 30°,v/ BA0 = 90°,「./ 0AM = 60°, ?/ DN 丄 OA ,???/ NDA = 30 °,「. AN= 1 AD = 3，由勾股定理得： DN= 3 3 , 2 2 2 v C( 1 , 0) ,? CN = 3 - 1 - 3 = 1，在 Rt △ DNC 中，由勾股定理得： DC = 31 , 2 2 2 2 即PA + PC的最小值是 31 . 2 【思考】 若把题中条件点“ C的坐标为(1 , 0) ”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时 2 PA + PC最小值又是多少呢？ 解答：??? PA + PC= PC + PD = CD DN = 3 3 ,二 PA + PC 的最小值为 3 3 . 2 2 例题2、某长方体的长、宽、高分别为 4、3、5,如图1,点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点 A沿长方体侧面爬到点 B 例题2、某长方体的长、宽、高分别为 4、3、5, 如图1,点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点 A沿长方体侧面爬到点 B,则最短路线 长是多少？ 如图2,点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 到达点C,那么所用细线最短长度是 . 如图2,点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点 到达点C,那么所用细线最短长度是 . 如图3,已知圆柱高4米，底面周长1米?如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱 3 旋形花圈的长至少 米. A开始经过 A开始经过