中考培优竞赛专题经典讲义第14讲数学基本方法之等积法.docVIP

第14讲数学基本方法之等积法 在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等 式.等积法也常在证明某些定理时被用到 【例题讲解】 例题1 已知：如图，在 RtAABC中，/ BAC= 90°, AB = 4, AC = 3, AD丄BC ,求AD的长为 答案：AD = 24 例题2、如图，E是边长为1的正方形 ABCD的对角线上一点，且 BE = BC, P为CE上任意一点，PQ丄BC 于点Q, PR丄BE于点R,贝U PQ + PR的值为 . 答案: 答案: CM = PR+ PQ,所以 CM =业 BC=虫.【解析】连接 BP，易知 Sabec = SaBEP + S^cp，所以 1 ? BE ? CM = 1 CM = PR+ PQ,所以 CM =业 BC=虫. =BE，等号两边同时约掉，剩下 连接BP,过C作CM丄BD , Sabec = Sabep + Sabcp =BCX PQ X 1 + BE X PRX 1 2 2 =BCX( PQ+ PR) X 1 2 =BE X CM X 1 , 2 BC = BE , ??? PQ+ PR= CM , ??? be = BC = 1，且正方形对角线 BD = 2 BC = 2 , 又??? BC= CD , CM = BD , ??? M为BD中点，又△ BDC为直角三角形, ??? CM = 1 bd = 2 , 2 2 即PQ + PR值是 2 . 2 【对于填空选择题，可用特殊值法！ 】例题3如图，正方形ABCD的边长为 【对于填空选择题，可用特殊值法！ 】 例题3 如图，正方形 ABCD的边长为1,点P为边BC上任意一点（可与 B点或C点重合），分别过B、 C、D C、D作射线AP的垂线，垂足分别是 B、C 为 . D，贝U B B + CC + D D的最大值为 ，最小值 答案：2, 答案：2, 2 . 【解析】连接AC、DP , S正方形 ABCD = 1 X 1 X 1 , 由勾股定理得：AC= 12 12 = 2 , ?/ AB = 1 , ? 1W APW 2 , S DPCS APC丄 APX S DPC S APC 丄 APX CC , 2 1 = S正方形ABCD S ABP + S ADP + S DPC -AP ( B B + CC + D D ), 2 B B + CC + D D 2 AP ?/ 1 APW 2 , 2 w B B + CC + D D w2, C 【巩固练习】 1如图，点P为等边△ ABC内任意一点，AB = 2,则点P到厶ABC三边的距离之和为 2、如图，在矩形 ABCD中，已知 AD = 12, AB= 5, P是AD边上任意一点， PE丄BD, PE丄AC, E、F分 别是垂足，则 PE+ PF的长为 . 3、如图，D是Rt△ ABC斜边AB上一点，且 BD = BC= AC = 1, P为CD上任意一点，PF丄BC于点F , PE 丄AB于点E,贝U PE + PF的值是 如图，已知直线 y= 2x— 2上有一动点 Q,点P坐标为（一1, 0）,贝U PQ的最小值为 . 【请用等积法】 如图，在 Rt△ ABC中，/ ABC = 90°,点 D是斜边上的中点，点 P在AB上，PE丄BD于E, PF丄AC AB = 6, BC= 3.，贝U PE+ PF = 若6?将两个全等的直角三角形按图 1所示摆放，其中/ DAB = 90°，求证：a2 + b2 = c2. 若 7.如图，在△ ABC中，/ A = 90°, D是AC上的一点，BD = DC , P是BC上的任一点，PE丄BD, PF 丄AC，E、F为垂足.求证： PE + PF = AB . 8.如图，平行四边形 ABCD 中，AB: BC = 3:2,/DAB = 60°, E在 AB上，且 AE: EB= 1:2, F 是BC的中点过D分别作DP丄AF于P, DQ丄CE于Q,求证：儘Cf 9? 9?在△ ABC 中，AB = 13, BC = 14. 【变式探究】 【变式探究】 如图1 , AD丄BC于点D，且BD = 5,则厶ABC的面积为 ; 在(1)的条件下，如图2,点H是线段AC上任意一点，分别过点 A, C作直线BH的垂线，垂足为 E, F，设BH = x, AE = m, CF = n,请用含x的代数式表示 m+ n,并求m+ n的最大值和最小值. 图1 图1 10.【问题情境】 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1 张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图 1,在厶ABC中，AB = AC,点P为边BC上的任 一■占 过占八、、〉 一■占