中考培优竞赛专题经典讲义第17讲二次函数与面积.docVIP

第17讲二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化 【例题讲解】 例题1如图1,过厶ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫△ ABC 的“水平宽” (a),中间的这条直线在△ ABC内部线段的长度叫△ ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种 计算三角形面积的新方法： S^ abc = 1 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 2 解答问题： 如图2，顶点为C (1,4)的抛物线y= ax2 + bx+ c交x轴于点A (3,0),交y轴于点B. 求抛物线和直线 AB的解析式； 点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接 PA, PB，当P点运动到顶点C时，求△ CAB 的铅垂高CD及Sacab ； 铅直高备用图②是否存在抛物线上一点 P,使S\pab = S\CAB ?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 铅直高 备用图 图1 图2 【解析】(1)设抛物线的解析式为： y1 = a (x— 1) 2 + 4 把A (3,0)代入解析式求得 a=— 1, 所以 y1 = —( x— 1) 2 + 4=— x2 + 2x+ 3, 设直线AB的解析式为：y2 = kx+ b 由y1 = — x2 + 2x+ 3求得B点的坐标为(0,3) 把 A ( 3,0), B (0,3)代入 y = kx+ b 中 解得：k=— 1, b= 3 所以 y = — x+ 3; (2)①因为C点坐标为(1,4) 所以当 x = 1 时，yt = 4, y2 = 2 所以 CD = 4— 2= 2 1 cab = X 3X 2= 3 (平方单位)； 2 ②假设存在符合条件的点 P,设P点的横坐标为 *,△ RAB的铅垂高为h,则h= y1 - y2 =(-x2 + 2x+ 3) —（—x + 3）= — x2 + 3x 由 S 由 Sapab =S^cab 1 得： X 3 X( -x2 + 3x )= 3 2 化简得：x2 - 3x + 2= 0, 解得：xi = 1 , X2 = 2, 将 x, = 1 代入 yi =-x2 + 2x+ 3 中， 解得P点坐标为(1, 4). 将 X2 = 2 代入 ％ =— x2 + 2x+ 3 中， 解得P点坐标为(2, 3). ???点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点, 综上所述，P点的坐标为(1 , 4) , (2, 3). 模型讲解 竖切 面积公式均为 S=^dh 2 CC C C 横切 1 面积公式均为S=」dh 2 【总结】 这种“铅垂高X水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“ 横竖”均可.而在选择时，如 何选用，取决于点 D的坐标哪种更易求得? 例题2 已知一次函数y =( k+ 3) x+( k— 1)的图像与x轴、y轴分别相交于点 A、B, P (— 1, — 4) 2=1 2 =1, …x=— 若厶OBP的面积为3，求k的值； 若厶AOB的面积为1，求k的值. 【解析】(1)： y=( k+ 3) x+( k— 1)的图像与x轴、y轴分别相交于点 A、B, ??? A(星，0)，B( 0，k- 1) P (— 1,— 4) k—1 x 2 k—1 = 6 k1 = 7,或 k2 = — 5. (2) 2 1— k =2 k+ 3 ???( k— 1) 2 = 2 k+3 当 k+ 30,即卩 k— 3时，k2— 4k— 5= 0 …k1 = 5,或 k2 = — 1 ； 当k+ 3v 0,即卩kv— 3时，k2=— 7 (舍去); 综上所述：k1 = 5,或k2 =— 1. 1 例题3如图，二次函数 y= 1 ax2— ax+ c的图像的顶点为 C, 一次函数y= — x+ 3的图像与这个二次函数 2 的图像交于A、B两点(其中点 A在点B的左侧)，与它的对称轴交于点 D. 求点D的坐标； 若点C与点D关于x轴对称，且△ BCD的面积为4，求此二次函数的关系式. ■/ y=— x+ 3 y= 2 D (1, 2); (2)设B点坐标为(m, n) ???点C与点D关于x轴对称, C (1,— 2) ?? CD = 4. S^bcd = 4， 1 x 4X( m— 1) = 4 2 m = 3 ? y=— x+ 3 n=— 3+ 3 = 0 B (3, 0) y= - ax2 — ax+ c 2 c 1 , —2= — a— a+ c 2 …c 9 — 0= — a—3a+ c 2 a=1 3 c=— 2 例题4已知抛物线y= ax2 + bx+ c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上, 点C在y轴正半轴上，线段 OB、OC的长(OB v