中考培优竞赛专题经典讲义第26讲存在性问题之相似三角形.doc

第26讲 存在性问题之相似三角形 相似存在性问题常涉及的思想方法为反证法，即将问题“何种情况下相似？”转化为“相似时能得到 何种情况” 【例题讲解】 例题1、如图，在直角坐标系中有两点 A(4,0)，B(0,2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当 BOC和 BOC 90两个三角形相似时，应该与 BOA 90对应， 若 OC 与 OA 对应，则 OC OA 4，C( 4,0)； 若OC与OB对应，则OC 1，C( 1,0)或者(1,0). C 点坐标为：(4,0) , ( 1,0)或(1,0). 故答案为：(4,0) , ( 1,0)或(1,0). ②如图，在 ABC中，AB 8cm , BC 16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为 2cm/s ;动点Q 从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/ s ;如果P、Q两动点同时运动，那么何时 QBP与 ABC相似？ 解：当BPQ BAC时，有BP BQ即6 2t 3t所以t 24 TOC \o 1-5 \h \z BA BC 6 8 17 当BPQ BCA时，有BP BQ即6 2t 3t所以t 1所以t 24 或1 BC BA 8 6 17 例题2.将三角形纸片(ABC)按如图所示的方式折叠，使点 B落在边AC上，记为点B，折痕为EF .已 知AB AC 3，BC 4，若以点B、F、C为顶点的三角形与 ABC相似，那么BF的长度是 . A 解：根据厶BFC与 ABC相似时的对应情况，有两种情况: ①厶B FC s ABC时,B FAbCFBC，又因为ABAC 3， BC ①厶B FC s ABC时, B F Ab CF BC， 又因为AB AC 3， BC 4， BF BF， 所以 BF 4 BF 解得BF 12 7 ； ②厶BCF s ABC时, B F CF BA CA 又因为AB AC 3, BC 4 , B F CF , BF BF , 所以BF 4 BF , 解得BF 2 . 故BF的长度是12或2. 7 故答案为：12或2. 7 AB、Q两例题3.如图，已知 ABC是边长为6cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A AB、 Q两 BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、 点都停止运动，设运动时间为 t(s)，解答下列问题： 当t 2时，判断 BPQ的形状，并说明理由； 作QR//BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时， APRs PRQ . 解：(1 解：(1) BPQ是等边三角形 AP 2 1 2 , BQ 2 2 4 BP AB AP 6 2 4 BQ BP 又 Q B 60 BPQ是等边三角形； (2) QQR//BA QRC A 60 , RQC B 60 QRC是等边三角形 QR RC QC 6 2t 1 Q BE BQgsos60 2t t 6 2tEP AB AP BE 6 t t 6 2t EP//QR , EP QR 四边形EPRQ是平行四边形 PR EQ 3t 又 Q PEQ 90 , APR PRQ 90 Q APRs PRQ , QR PR PR AP， 6 2t 3t 3t t 解得t - 5 例题4.如图，已知 ABC的三个顶点坐标分别为 A( 4,0)、B(1,0)、C( 2,6). 求经过A、B、C三点的抛物线解析式； 设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE CE ; 设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与 ABC相 似吗？ 0 n A ,1 7 0 解析：(1)设函数解析式为： y ax2 bx c，由函数经过点 A (- 4，0)、B ( 1，0)、C (- 2，6)， TOC \o 1-5 \h \z 16a 4b c 0 a 1 可得 a b c 0 ，解得： b 3，故经过 A、B、C三点的抛物线解析式为： y x2 3x 4 4a 2b c 6 c 4 (2)设直线 BC的函数解析式为y=kx+b， 由题意得： k b 0 ，解得: k 2，即直线 BC的解析式 2k b 6 b 2 为y 2x 2 ?故可得点E的坐标为(0， 2)，从而可得：AE AO2 BO2 2 5，CE= (2 0)2 (6 2)2 2 5 ， 故 可 得 出 AE=CE ; 即直线AD 即直线AD的解 (3)相似?理由如下：设直线 AD的解析式为y=kx+b，贝U ，解得: b 4 析式为y x 4 ?联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:2x 2，解得:23，即点 析式为y x 4 ?联立直线AD与直线BC的函数解析式可得: 2x 2 ，解得: 2 3，即点F的 10 3 5 5^ T，又― AB=5， BC ( 2 1)2