中考培优竞赛专题经典讲义第27讲存在性问题之等腰三角形.docVIP

第27讲 存在性问题之等腰三角形 【例题讲解】 例题1?如图，直线11、12相交于点A,点B是直线外一点,在直线|1、12上找一点C,使 △ABC为一个等腰三角形?满足条件的点 C有 个? 【提示】 以B为圆心，线段BA长为半径作圆，与11、12交点即为满足条件点 C ； 以A为圆心，线段BA长为半径作圆，与11、12交点即为满足条件点 C ； 作线段AB的垂直平分线，与11、12交点即为满足条件点 C.(此方法简称为 两圆一线”) 【巩固训练】 4 1、一次函数y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,在坐标轴上取一点 C,使△ABC为等腰三角形，则这样 3 TOC \o 1-5 \h \z 的点C最多有 个。 2、已知△ABC的三条边长分别为 3,4,6,在AABC所在平面内画一条直线，将AABC分割成两个三角形，使其中 的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ) A.6条 B. 7条 C. 8条 D. 9条 4 例题2. 一次函数y= x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在y轴上取一点C,使得AC=BC,求出C点坐标? 3 【代数法、几何法均可解】 解：如图所示，直线AB的解析式为y= 4 x+4, 3 当 y=0 时,x= - 3,则 A(-3.0);当 x=0 时,y=4,则 B(0,4)。 设C点坐标为(x.0),在Rt△ AOB中,由勾股定理得 OA2 OB2 32 42 5, 在Rt△ BOC中,由勾股定理得 BC= OC2 OB2 x2 42。 当以AB为底时，AC=BC,则3+x= x2 42，整理得6x=7,解得x= 7 ,则(7 ,0); 6 6 当以BC为底时，可得AC=AB,则3 x 5,解得x=2或一8则C(2,0)或(-8,0); 当以AC为底时，可得AB=BC,即得 x2 42 =5,整理得x2=9,解得x= ± 3, 贝U C(3,0)或(一3,0)(舍去)。 综上所述，满足条件的点C的坐标是(】,0)或(2,0)或(3,0)或(-8,0) 6 例题3.如图,直线x= — 4与x轴交于点E,—开口向上的抛物线过原点交线段 0E于点A,交直线x= — 4于点 B,过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点 C,直线OC交直线AB于D,且AD:BD=1: 3. 求点A的坐标； 若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式. 解:(1)如图过点D作DF丄x轴于点F.由题意可知 OF=AF则2AF+AE=4① AF AD 1 ?/ DF // ADF 丄 即 AE=2AF② AE AB 2 与②联立解得 AE=2,AF=1. ???点A的坐标为(—2,0); (2) ???抛物线过原点(0,0), ?可设此抛物线的解析式为 y=ax2+bx ???抛物线过原点(0,0)和A点(—2,0), ?对称轴为直线x = 2 0 =— 1 2 ?/ B、C两点关于直线 x=— 1对称B点横坐标为一4/. C点横坐标为2,二BC= 2 — (— 2) = 6 ???抛物线开口向上 OAB9O°,OBAB=OC. ???当△OBC是等腰三角形时分两种情况讨论 ： 当 OB=BC 时设 B( — 4,y1), 则16+y12=36解得y1= 2 5(负值舍去). 将 A(— 2,0),B( — 4,2 5)代入 y=ax2+bx 4ab26a 4a b 2 6a ?此抛物线的解析式为 y= 5x2+ 5x TOC \o 1-5 \h \z 4 2 当OC=BC时设C(2,y2),则4+y22=36解得y2= 4 2 (负值舍去) 将 A(— 2,0),C(2, 4 2 )代入 y=ax2+bx, 4a 2b 0 a —— 得 ,解得 2 4a 2b 4 2 b 2 2 2 2 2 ?此抛物线的解析式为 y= 2 x2+ 2x 2 例题4?如图甲，在△ABC中，/ACB=90° AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点 A匀速运动, 同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0t4), 解答下列问题： 设△APQ的面积为S,请写出S关于t的函数表达式？ ⑵如图乙，连接PC,将APOC沿QC翻折，得到四边形PQPC,当四边形PQPC为菱形时，求 t的值； ⑶当t为何值时，MPQ是等腰三角形？ CC C C 解:⑴如图1,过点 解:⑴如图1,过点P作PH丄AC于H, PH ???/ C=90° , AC 丄 BC, ? PH // BC,「. AAPHABC,「.— BC AP AB 3,? PH = 3 — t5PH 5 t ■/ AC=4cm, BC=3cm, ? 3 ,? PH = 3 — t 5 PH 5 t ■/ AC=4c