中考培优竞赛专题经典讲义第2讲垂直平分线.docVIP

第2讲垂直平分线 1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 PD为线段AB的垂直平分线，必然需要连接 PA、PB,构造出等腰△ PAB,进而求解. 逆定理：若 PA=PB，则点P在AB的垂直平分线上. 【例题讲解】 例题1、如图，在△ ABC中，点 D、E、F分别在BC、AB、AC上.BD=CF, BE=CD , DG丄EF于点G,且 EG=FG.求证：AB=AC. 【分析】可知 GD为EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接 【解答】解：连接 DE、DF如右图所示 Q DG EF,EG FG DE DF BD CF 在厶BDE和厶CFD中， BE CD DE DF BDE CFD B C AB AC . 例题 2、如图，在 RtAABC 中，/ C=90°,点 D 在 BC 上，点 E在 AB 上，且 DE // AC, AE=5, DE=2, DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点 C运动，设运动时间为t秒。 线段AC的长= ; 在线段EA上有一点Q,满足ED=EQ，连接DQ、PE,当PE丄DQ时，求出t的值. 【解答】 AC=6; 当PE丄DQ时，由于 ED=EQ，易证 PE垂直平分 DQ , 所以连接PD、PQ,只需使PD=PQ即可 可知 AP=2t，所以 PC=6-2t； CD=3, EQ=2，所以 AQ=3, 所以AF 4 AQ 12 QF 3AQ 9 5 5 5 5 12 所以PF 2t — 5 在 RtA PCD 中， PD2=32+ ( 6-2 t) 2 ; 2 2 c 在 RtA PQF 中， pq2= 2t 12 9 5 5 2 2 所以 32+ (6-21) 2= 2t 12 9 ，解得t 5 ~5 5 2 【总结】遇见垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段两端点是必然的！ 【最好方法】 当PE丄DQ时，易证PE平分/ DEA ,由【角平分线模型三】 可知，平行+角平分线=等腰三角形，所以△ AEP 为等腰三角形，所以 AP=AE=5,即2t=5, 【巩固练习】 1、三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形的( : ) A.重心 B.内心 C.外心 D.中心 2、在厶AOB的内部有 点 P，点P与P1关于 OA对称，点 P与P2关于BO对称，①则△ OP1P2是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 ②当/ AOB满足什么条件时，△ OP1P2是等边三角形？ 3、如图，△ ABC中，AB, AC的垂直平分线交 BC于D、E, TOC \o 1-5 \h \z 若/ BAC=100°,则/ DAE= ; 若/ BAC=80°,则/ DAE= ; 若/ DAE=10°,则/ BAC= ; 若厶ABC的周长为20,A ADE的周长为12,贝U AB+AC= ; 当AB=AC，且/ BAC=120°,则厶ADE为何种特殊三角形？  4、如图，等边△ ABC的边长为3, BO、CO分别为/ ABC、/ ACB的角平分线，BO、CO的垂直平分线交 BC于E、F，则EF的长为 5、如图，已知等腰△ ABC, AB=BC=5, AC= 10 ,在BC边上存在一点 P,恰好在线段 AB的垂直平分线 上，贝U BP的长为 6、如图所示，已知 AD是厶ABC的角平分线，DE丄AB, DF丄AC,垂足分别是 E, F.求证：AD垂直平分 EF. 7、A ABC中，D为BC中点，DE丄BC,交/ BAC的平分线于点 E, EF丄AB于F, EG丄AC于G.求证: BF=CG. 8、如图，△ ABC中，点D在BC上，且AD的垂直平分线 EF交BC延长线于点 F，若/ FAC = Z B,求证: AD 平分/ BAC.  9、如图，在△ ABC中，AB=AC, D为三角形内一点，且△ DBC为等边三角形? 求证：直线AD垂直平分BC; 以AB为一边，在 AB的右侧画等边△ ABE，连接DE，试判断以DA、DB、DE三条线段是否能构成 直角三角形？请说明理由? 2 10、已知二次函数y=ax+2ax+c的图象与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 顶点为P,若C ( 0, 2), BC的垂直平分线过点 A，求这个二次函数的关系式. 11、如图，在平面直角坐标系中，直线 11、如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B，点P从点O出发沿 3 OA以每秒1个单位长的速度向点 A匀速运动，到达点 A后立刻以原来的速度沿 AO返回；点Q从A出发 沿AB以每秒1个单位长的速度向点 B匀速运动，当点 P、Q运动时，DE保持垂直平分 PQ，且交PQ于 点D，交