中考培优竞赛专题经典讲义第6讲巧用旋转解题.docVIP

第6讲巧用旋转解题 【例题讲解】 」、当条件中出现“邻边相等+对角互补+半角” 1 例题1、如图，将Rt△ ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ ADC,E、F分别是BC、CD边上的点，/ EAF = 1 / BAD , 2 连结EF，试猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的结论 【解析】如图,CB 至U Q,使 BQ= 【解析】如图, CB 至U Q,使 BQ= DF，连接 AQ, 延长 D ???△ ABC与厶ADC关于AC对称， ???△ ABC◎△ ADC ,??? AB= AD，/ ABC = Z D. ???/ ABC = 90°,「./ ABQ = Z D = 90°. 易证△ ADF◎△ ABQ (SAS), ? AQ= AF，/ QAB=Z DAF , 1 ???/ EAF = / BAD，?/ DAF +Z BAE = Z EAF，?/ BAQ+Z BAE =Z EAF , 2 即 Z EAQ = Z EAF , 易证△ EAQ^A EAF ( SAS), EF = EQ = BE+ BQ= BE + DF. 二、当条件中出现“邻边相等+半角” 例题2、如图，等边△ ABC中，点 P, Q在边BC上，且Z PAQ= 30° .若BP= 2, QC= 3,则厶ABC的边 长为 【解析】将厶ABP绕点A逆时针旋转60°,得到△ ACP /,连接QP〈 易证△ AQP^A AQP /, ???/ P/ CD = 60°, 过P/ D作p/ D丄BC,交BC延长线于点 D, 在 Rt△ P / CD 中，可得 CD = 1, P / D = 2 , 在Rt△ P / QD中，可计算出QP / = 19 , ? PQ= 19，?边长为 5+、.19 . 三、当条件中出现“邻边相等+对角互补” 例题3、如图，在O O的内接四边形 ABCD中，AB = 3, AD = 5,/ BAD = 60。，点C为弧BD的中点，则 AC的长是 A 【解析】由点C为弧BD中点，可得BC = CD , / BAC = / CAD，即出现“邻边相等”，所以将厶 ABC绕 点C旋转至BC与CD重合，如图可得△ ACE为等腰三角形，顶角/ ACE=/ BCD = 120 °，底边长 AE = AD + DE = AD + AB= 3 + 5= 8,所以在底角为 30°的等腰△ ACE中即可求出 AC= 8 3 . 3 四、仅有“邻边相等” 例题4、如图，在等边厶 ABC中有一点 P, PA= 2-3 , PB= 4, PC = 27 . 求/ APB的度数； 求厶ABP的面积； 求厶APC的面积； 求厶ABC的面积. 【解析】 如图，△ ABC为等边三角形， ? AB = AC，/ BAC = 60 ° ; 将厶ABP绕点A逆时针旋转60°,到厶ACQ的位置，连接 PQ; AQ则 AQ = AP= 2 3 , CQ= BP= 4;???/ PAQ = 60°, A Q 则 AQ = AP= 2 3 , CQ= BP= 4; ???/ PAQ = 60°, ???△ APQ为等边三角形， PQ= PA= 2 3，/ AQP= 60°; 在厶 PQC 中，满足 PC2= PQ2+ CQ2, ???/ PQC = 90。，/ AQC = 150°, ???/ APB = Z AQC = 150°, 故答案为150. 由(1)可知/ APB = 150 °，如图，延长 BP,过点A作AD丄BD，交BP延长线于点 D. A C ? / APD = 30°, AD = -AP=亦, 2 ? SaAPB= -BP AD = 一 X 4X ^3 = 2 V3 . 2 2 SaABP+ Sa APC= S 四边形 APCQ. (3)可知 ABP+ Sa APC= S 四边形 S 四边形 APCQ = Saapq+ Sa pqc , ? Sa ABP+ Sa APC= Saapq + Sa PQC, ? - 2 ^3 + Saapc = — (2 ) 2+ 4 X 4X 2 3 = 7 3. 2 (4)在 RtA ABD 中，AD = .3 , BD = 4 + 3= 7, ? AB 由等边三角形面积公式可得 Saabc= — X( 2 ) 2= 13亦. 4 【巩固练习】 1、如图△ ABC是边长为3的等边三角形，△ BDC是等腰三角形，BD = CD , Z BDC = 120°,以D为顶点 作一个60°角，使其角的两边分别交 AB、AC边于M、N,连接MN，则△ AMN的周长为 2、如图，在四边形 ABCD 中，Z ABC +Z ADC = 180 ° , AB = AD, AE 丄 BC 于点 E.若 AE = 18, BC= 10, CD