中考培优竞赛专题经典讲义第8讲最值问题之垂线段最短.docVIP

第8讲最值问题之垂线段最短 模型讲解 如图，直线I外一点P与直线上的点的所有连线段中， PB线段长度最短. 【例题讲解】 PE丄AB于E,例题 1、如图，在 Rt△ ABC 中，/ BAC = 90°, AB= 5, AC= 12 PE丄AB于E, PF丄AC于F , M为EF中点，贝U AM的取值范围是 . 解：连接 AP ,T PE 丄 AB, PF 丄 AC,：/ AEP=Z AFP = 90 ° , ???/ BAC = 90°,：四边形 AEPF 是矩形，??? AP= EF , ???/ BAC = 90°, M 为 EF 中点，：AM = - EF = - AP, 2 ???在 Rt△ ABC 中，/ BAC = 90°, AB = 3, AC= 4，: BC = vAB2 AC2 = 5, 当AP丄BC时，AP值最小，此时 Sabac=丄X 3 X 4= - X 5X AP, 2 12 12 12 6 ：AP= ?，即卩AP的范围是 AP — ,： 2AM — ,： AM的范围是 AM -, 5 5 5 5 ?/ AP AC,： AP v 4，: AM v 2,： 6 AM v 2. 5 CD长的最小值例题2、已知点D与点A(8 , 0) , B(0 , 6) , C(a,— a) CD长的最小值 解：有两种情况: CD是平行四边形的一条边，那么有 AB = CD = 10 CD是平行四边形的一条对角线， 过C作CM丄AO于M，过 D作DF丄AO于F，交AC于Q,过B作BN丄DF于N, 则/ BND = Z DFA—/ CMA = Z QFA= 90°,/ CAM + Z FQA = 90°,/ BDN +Z DBN = 9 ???四边形 ACBD 是平行四边形，??? BD = AC, / C=/ D, BD // AC,：/ BDF =/ FQA , BND AMC / DBN =/ CAM，在△ DBN 和厶 CAM 中， DBN CAM , ?△ DBN◎△ CAM (AAS), BD AC DN = CM = a, BN = AM = 8 - a, D(8 - a, 6 + a), 2 2 2 2 1 2 由勾股定理得： CD = (8 - a - a) + (6 + a + a) = 8a - 8a +100 = 8( a- ) + 98, 2 当a = 1时，CD有最小值，是 98 , 2 ??? 98 V 10,： CD 的最小值是 98 = 7 2 . 例题3、如图，在Rt△ ABC中，/ 例题3、如图，在 Rt△ ABC中，/ C = 90°, AC = 6, BC= 8,经过点 C且与边 AB相切的动圆与 CA .、 则线段PQ长度的最小值是 CB分别相交于点P、Q, 解：如图，??? AB= 10, AC= 8, BC = 6, ? AB2= AC2+ BC2,：/ ACB = 90°,： PQ 是O F 的直径, 设QP的中点为F，圆F与AB的切点为 D，连接FD，连接CF , CD，贝U FD丄AB . ? FC + FD = PQ,： CF + FD CD , ???当点F在直角三角形 ABC的斜边AB的高上CD时，PQ = CD有最小值 ：CD = BC?AC - AB= 4.8 . 【巩固练习】 1、已知在△ ABC中，AC= 3, BC = 4, AB = 5,点P是AB上（不与A、B重合），过P作PE丄AC, PF丄 F,连结 F,连结EF , M为EF的中点，贝U CM的最小值为 2、如图，线段 AB的长为10, C为AB上的一个动点，分别以 AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直 角厶ACD和厶BCE，那么DE长的最小值是 . 3、如图，已知平行四边形 OABC的顶点A、C分别在直线x= 1和x= 4上，O是坐标原点，则对角线 0B 长的最小值为 . 4、在平面直角坐标系中，己知平行四边形 ABCD的点A(0，- 2)、点B(3m, 4m+ 1)( m^— 1)，点C(6 , 2)，则对角线BD的最小值是 . k / * E/ 、L F、P \ A] —1? 5、如图，等边△ ABC的边长是2cm,将边AC沿射线BC的方向平移2cm,得到线段DE,连接AD、CE. 求证：四边形 ACED是菱形； 将厶ABC绕点C旋转，当CA与DE交于一点 M , CB与AD交于一点 N时，点 M、N和点D构成 △ DMN，试探究厶DMN的周长是否存在最小值？如果存在，求出该最小值；如果不存在，请说明理 由.  参考答案 解：如图，连接 CP. ?/ AC = 3, BC= 4, AB= 5：/ ACB = 90°, ??? PE 丄 AC, PF 丄 BC,/