自动控制原理-极坐标图 稳定判据和裕度.ppt

* 极坐标图的一般形状 0型系统：极坐标图的起点 是一个位于正实轴的有限值 极坐标图曲线的终点位于坐标原点，并且这一点上的曲线与一个坐标轴相切。 1型系统： 的相角是 极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段 幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个坐标轴相切。 在总的相角中 项产生的 * 在总相角中 的相角是由 项产生的 2型系统： 图5-34b高频区域内的极坐标图 如果 的分母多项式阶次 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点 时， 轨迹将与实轴或虚轴相切 高于分子多项式阶次，那么 当 * 5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图 图5-34 二阶因子对数幅-相图 * 5.5奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) 图3-35 闭环系统 闭环传递函数为 为了保证系统稳定，特征方程 的全部根，都必须位于左半s平面。 的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。 虽然开环传递函数 充要条件 * 奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应 与 在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 假设开环传递函数 可以表示成s的多项式之比。对于物理上可实现的系统，闭环传递函数的分母多项式的阶数必须大于或等于分子多项式的阶数，这表明，当s趋于无穷大时，任何物理上可实现系统的 的极限，或趋于零，或趋于常数。 * 预备知识 可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。 平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。 例如考虑下列开环传递函数： * 其特征方程为： 函数 在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每一个解析点， 平面上必有一点与之对应 ，则 为： 这样，对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。 例如 * 图5-36 s平面上的图形在 平面上的变换 上半s平面内的直线 和 在 平面上的变换 * 0 0 当s平面上的图形包围两个 的极点时， 的轨迹将反时针方向包围 平面上原点两次 * A B F E D C A1 B1 F1 E1 D1 C1 当s平面上的图形包围 的两个极点和两个零点， 的轨迹将不包围原点 相应的 * 0 0 如果这个曲线只包围一个零点，相应的 的轨迹将顺时针包围原点一次， 封闭曲线既不包围零点又不包围极点， 的轨迹将永远不会包围 平面上的原点 * 如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)， 相应的封闭曲线不包围 上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判据正是建立在影射定理的基础上。 即包围的零点数与极点数相同，则在 平面上， 平面上的原点。 * 影射定理 设 为两个s的多项式之比，并设P为 的极点数，Z为 的零点数，它们位于s平面上的某一封闭曲线内， 的任何极点和零点。于是，s平面上的这一封闭曲线影射到 平面上，也是一条封闭曲线。当变量s顺时针通过封闭曲线时 平面上，相应的轨迹顺时针包围 原点的总次数R等于Z-P。 且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不通过 在 * 若R为正数，表示 的零点数超过了极点数； 的极点数超过了零点数。 很容易确定 的P数。因此，如果， 的轨迹图中确定了R，则s平面上封闭曲线内的零点数 若R为负数，表示 在控制系统应用中，由 很容易确定。 两者的极点数相同 * 影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性，令s平面上的封闭曲线包围整个右半s平面。这时的封闭曲线由整个 轴(从 到 该封闭曲线为奈奎斯特轨迹(轨迹的方向为顺时针方向)。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s平面，所以它包围了 )和右半s平面上半径为无穷大的半圆轨迹构成 的所有正实部的极点和零点。 则不存在闭环极点，因而系统是稳定的。 如果 在右半s平面不存在零点， * 图5-37 s平面内的封闭曲线 曲线对原点的包围，恰等于 轨迹对-1+j0点的包围 * 这一判据可表示为： 函数 在右半s平面内的零点数 对-1+j0点顺时针包围的次数 函数 如果P不等于零，对于稳定的控制系统，必须 或 ，这意味着必须反时针方向包围-1+j0点P次。 关于奈奎斯特稳定判据的几点说明 式中 在右半s平面内的极点数 如果函数 在右半s平面内无任何极点，则 因此，为了保证系统稳定， 的