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简单系统1 此时,响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为 当系统的初始状态为零时,y(t)为零状态响应,上式可表示为 根据h(t)的定义,若在上式中令f(t)=δ(t),则yf(t)=h(t),所以有 这是关于h(t)的一阶微分方程, 容易求得 于是 式中,符号“→”表示“系统H(p)对应的冲激响应h(t)为…”。 将这一结果推广到特征方程A(p)=0在p=λ处有r重根的情况,有 简单系统3 对于一般的传输算子H(p),根据本书附录A的讨论结果,当H(p)为p的真分式时,可将它展开成如下形式的部分分式之和, 即 综上所述,可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是: 例 2.5-1 描述系统的微分方程为 求其冲激响应h(t)。 解 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 其H(p)可表示为 例 2.5-2 二阶电路如图2.5-3所示,已知L=0.4 H,C=0.1F, G=0.6S,若以us(t)为输入,以uC(t)为输出,求该电路的冲激响应h(t)。 图 2.5-3 例2.5-2图 解 (1) 列写电路输入输出方程。 按图2.5-3,由KCL和KVL有 (2) 求冲激响应。 电路的输入输出算子方程为 根据式(2.5-5), 求得 例 2.3 – 1 设某连续系统的传输算子为 图 2.3 – 2 例2.3 - 2图 解 选图中右端积分器的输出为中间变量x(t),则其输入为x′(t),左端积分器的输入为x″(t), 如图所示。写出左端加法器的输出 右端加法器的输出 求得图2.3 - 2系统的微分方程为 写出系统的算子方程 于是,得到系统的传输算子为 2.3.3 电路系统算子方程的建立 表 2.2 电路元件的算子模型 例 2.3 – 3 电路如图2.3 - 3(a)所示,试写出u1(t)对f(t)的传输算子。 图 2.3 – 3 例2.3 - 3图 解 画出算子模型电路如图2.3-3(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为 所以u1(t)对f(t)的传输算子为 它代表的实际含义是 例 2.3 – 4 如图2.3 - 4(a)所示电路,电路输入为f(t),输出为i2(t),试建立该电路的输入输出算子方程。 图 2.3 – 4 例2.3 - 4图 解 画出算子模型电路如图2.3 - 4(b)所示。列出网孔电流方程如下: 该方程组对新设变量而言是一个微分方程组, 可以用代数方法求解,得 2.4 连续系统的零输入响应 2.4.1 系统初始条件 根据线性系统的分解性,LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t),即 分别令t=0-和t=0+,可得 对于因果系统,由于激励在t=0时接入,故有yf(0-)=0;对于时不变系统,内部参数不随时间变化,故有yx(0+)=yx(0-)。因此,式(2.4 - 2)和式(2.4 - 3)可改写为 同理,可推得y(t)的各阶导数满足 2.4.2 零输入响应算子方程 设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p), 且 y(t)和f(t)满足的算子方程为 yx(t)满足的算子方程为 2.4.3 简单系统的零输入响应 简单系统1 若A(p)=p-λ,则yx(t)=c0eλt。 此时系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=λ。将A(p)=p-λ代入式(2.4 - 10)可得 式中,c0=yx(0-),其值由初始条件yx(0-)确定。因此,可得结论为 含义是:A(p)=p-λ对应的零输入响应yx(t)为c0eλt。 简单系统2 若A(p)=(p-λ)2,则yx(t)=(c0+c1t)eλt。 两边乘以e-λt,再取积分 2.4.4 一般系统的零输入响应 对于一般情况,设n阶LTI连续系统,其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根λi(i=1, 2, …, l),且λi是ri阶重根,那么,A(p)可以因式分解为 式中,r1+r2+…+rl=n 根据线性微分方程解的结构定理,令i=1,2,….,l,将相应方程求 和,便得 所以方程A(p)yx(t)=0 第一步,将A(p)进行因式分解,即 综上所述,对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是: 第二步,求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t) 第三步,将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加,得到系统的零输 入
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