解答 （2020级） (对称矩阵).docxVIP

PAGE PAGE 4 二、 1. A 解 为实对称矩阵,,即特征根为. 所以存在正交矩阵使得 ,即正交合同与；同时有，即相似与.所以,选. A 解 方法一用配方法化标准形判别： . 则可得秩，正惯性指标，（负惯性指标），故选A. 方法二 用特征值判断，只需判断二次型矩阵的特征值的符号：二次型的矩阵 的特征值，知，知秩，可排除C，且特征值不能都是负数；另一方面所以负特征值有两个.故选A.(或直接求出特征值判断) D 4. B 5. B 6.B 7.A解 = , , 因为P,Q是正交矩阵，所以 =. 选A 解法二 ，其中. 由已知， ， 那么， 8.A 解 方法一用配方法化标准形判别： . 则可得秩，正惯性指标，（负惯性指标），故选A. 方法二 用特征值判断，只需判断二次型矩阵的特征值的符号：二次型的矩阵 的特征值，知，知秩，可排除C，且特征值不能都是负数；另一方面所以负特征值有两个.故选A.(或直接求出特征值判断) 三、 1.解 秩等于2，求出.再标准化求（求A的特征向量再正交规范化). , 2.解 .，. 3.解 （1）先配含的项；再配含的项，依次下去 令，即，也就是 即为所作的非线性替换把二次型化为. （2）式中不含平方项，故令得 == 令，即.得. 所作的非线性替换是.或 . 4解：f(x1，x2，x3)的矩阵 A= |?E–A|==(?–5)2(?+4) 所以A的特征值是5和–4． 对于?=5 解(5E–A)X=0，求得它的一个基础解系 ?1=，?2= 先正交化β1=?1=，β2=?2–β1=，再单位化 η1=，η2=，对于?= – 4，解(–4E–A)X=0得基础解系?3=， 再单位化η3=． 令 P= 则P是正交矩阵P–1AP=PTAP= 令 =P，则f(x1，x2，x3)=5y12+5y22–4y32．