中值定理的分析性质研究.pdf

毕业论文文献综述 数学与应用数学 中值定理的分析性质研究 一、前言部分 微分中值定理是微分学的基本定理之一， 研究函数的有力工具． 微分中值定理有着明显 的几何意义和运动学意义．以拉格朗日 (Lagrange)微分中值定理为例，它的几何意义：一个 在 [a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可微的曲线段 f ( x) ，必有 (a,b) ，曲线在点 ( , f ( )) 的切 线平行于连接点 ( a, f ( a)) 与 (b, f (b)) 的割线．它的运动学意义：设 f 是质点的运动规律， 则 质 点 在 时 间 区 间 [ a, b] 上 走 过 的 路 程 为 f (b) f (a ) ， 在 (a, b) 上 的 平 均 速 度 为 f (b) f ( a) ，存在 (a,b) 的某一时刻 ，质点在 的瞬时速度恰好是它的平均速度． b a 人们对微分中值定理的研究， 从微积分建立之始就开始了． 它首先是法国著名的数学家 费马于 1637 年给出了费马定理，在教科书中，人们通常将它称为费马定理． 1691 年，法国 数学家罗尔 (Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理． 1797 年，法国数 学家拉格朗日在 《解析函数论》 一书中给出拉格朗日定理，并给出最初的证明．对微分中值 定理进行系统研究的是法国数学家柯西 (Cauchy) ，他首先赋以中值定理重要的作用，使其成 为微分学的核心定理，并给出了广义的中值定理—柯西定理 . 二、主题部分 一、微分中值定理产生的历史 文献 [1] 和 [2] 中说到了微积分学简史 ，费马对微积分作出过重要的贡献．他在研究极 大和极小问题的解法时， 得到统一的解法 “虚拟等式法”，从而得出原始形式的费马定理． 所 谓的虚拟等式法，用现代语言来说，对于函数 f (x) ，让自变量从 x 变化到 x e ，当 f (x) f ( x e) f (x ) 为极值时， f ( x) 和 f (x e) 的差近似为 0 ，用 e 除虚拟等式， 0 ，然后 e 让 e 0 ，就得到函数极值点的导数值为 0 ，这就是费马定理：函数 f (x) 在 x x 处取极 0 值，并且可导，则 f (x ) 0 ．应该指出：费马给出以上结论，微积分还处于初创阶段，并 0 没有明确导数， 极限连续的概念，用现代眼光来看，其论断也是不严格的． 现在看到的费马 定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的． 罗尔在 1691 年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式 n n 1 a x a x L a x a 0