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P01：01 背包问题 题目：有 N件物品和一个容量为 V 的背包。第 i 件物品的费用是 c[i] ，价值是 w[i] 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的 费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 基本思路： 这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以 选择放或不放。 用子问题定义状态： 即 f[i][v] 表示前 i 件物品恰放入一个容 量为 v 的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是： f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都 是由它衍生出来的。 所以有必要将它详细解释一下： “将前 i 件 物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题， 若只考虑第 i 件物品 的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前 i-1 件物 品的问题。 如果不放第 i 件物品， 那么问题就转化为“前 i-1 件 物品放入容量为 v 的背包中”； 如果放第 i 件物品， 那么问题就 转化为“前 i-1 件物品放入剩下的容量为 v-c[i] 的背包中”， 此时能获得的最大价值就是 f[i-1][v-c[i]] 再加上通过放入第 i 件物品获得的价值 w[i] 。 注意 f[i][v] 有意义当且仅当存在一个前 i 件物品的子集， 其 费用总和为 v 。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不 一定是 f[N][V] ，而是 f[N][0..V] 的最大值。 如果将状态的定义 中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项 f[i][v-1] ， 这样就可以保证 f[N][V] 就是最后的答案。至于为什么这样就可 以，由你自己来体会了。 优化空间复杂度： 以上方法的时间和空间复杂度均为 O(N*V) ，其中时间复杂度 基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到 O(V) 。 先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环 i=1..N ，每次算出来二维数组 f[i][0..V] 的所有值。那么，如 果只用一个数组 f[0..V] ，能不能保证第 i 次循环结束后 f[v] 中表示的就是我们定义的状态 f[i][v] 呢？f[i][v] 是由 f[i-1][v] 和 f[i-1][v-c[i]] 两个子问题递推而来，能否保证在 推 f[i][v] 时（也即在第 i 次主循环中推 f[v] 时）能够得到 f[i-1][v] 和 f[i-1][v-c[i]] 的值呢？事实上，这要求在每次主 循环中我们以 v=V..0 的顺序推 f[v] ，这样才能保证推 f[v] 时 f[v-c[i]] 保存的是状态 f[i-1][v-c[i]] 的值。伪代码如下： fori=1..N forv=V..0 f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}; 其中的 f[