第12章 基础数学（第4册）电子教案.doc

电子教案 第12 圆锥曲线与方程 第12章 圆锥曲线与方程 课题12.1 椭圆 【教学目标】 1．掌握椭圆的定义和标准方程。 2．掌握椭圆的几何性质。 【教学重点】 椭圆的几何性质。 【教学难点】 椭圆的几何性质。 【教学设计】 首先介绍椭圆的定义及标准方程，并通过练习巩固所学知识。 【教学设备】 电脑、投影仪。 【教学时间】 1课时（45 min）。 【教学过程】 环节 教学内容 教师 活动 学生活动 设计意图 课题导入 椭圆是一种常见的圆锥曲线，如一些行星和卫星运行的轨道等，如图12-1所示． 图12-1 在数学中，椭圆上的点应满足怎样的条件呢？ 提出问题 思考交流 设疑激趣 导入新课 新课讲解 12.1.1 椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义 一般地，平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的标准方程 如图12-3所示，以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 图12-3 设椭圆的焦距是，则两个焦点的坐标分别为，．设为椭圆上任意一点，点到焦点，的距离之和为，则 ． 因 ，， 所以 ， 整理得 ． 这个方程称为椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，中心在坐标原点，焦点坐标为，的椭圆，其中． 若坐标系的选取不同，椭圆的方程也不同．若椭圆的焦点，在轴上，点，的坐标分别为，，则椭圆的标准方程为 ． 这个方程也称为椭圆的标准方程，其中． 例 求下列椭圆的焦点坐标． （1）； （2）． 解 （1）因已知椭圆方程为标准方程，且，所以这个椭圆的焦点在x轴上，且，． 因 ， 所以，该椭圆的焦点坐标为，． （2）将已知椭圆方程化为标准方程得 ． 因，所以这个椭圆的焦点在y轴上，且，． 因 ， 所以，该椭圆的焦点坐标为，． 12.1.2 椭圆的几何性质 以椭圆为例研究椭圆的几何性质． 1．范围 由椭圆方程可知，椭圆上任意一点的坐标都满足不等式 ， 即 ，． 这说明椭圆位于直线和所围成的矩形里，如图12-6所示． 图12-6 2．对称性 在椭圆中，把换成，方程不变，这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称；同理，把换成，方程不变，椭圆关于轴对称；同理，把，分别换成，，方程也不变，椭圆关于原点对称． 综上可知，椭圆既是分别以轴、轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的中心对称图形．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点 在椭圆中，令，解得，这说明点，是椭圆与y轴的两个交点；同理，令，解得，这说明点，是椭圆与x轴的两个交点． 因为轴和轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有4个交点，，，，这4个交点叫做椭圆的顶点． 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴．它们的长分别等于，，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长． 4．离心率 c越接近a，椭圆越扁平，故利用c和a这两个量的比值可以刻画出椭圆的扁平程度． 椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用表示，即 ． 因为，所以． 越接近于1，则c越接近于a，从而越小，椭圆越扁；反之，越接近于0，则c越接近于0，从而b越接近于a，椭圆就越接近于圆． 例如，椭圆的离心率为． 例 求满足下列条件的椭圆的方程． （1）长轴长为20，离心率为，焦点在y轴上； （2）长半轴长是短半轴长的2倍，且经过点． 解 （1）由已知可得，，则 ，， 所以 ． 因椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为． （2）当焦点在x轴上时，由椭圆的几何性质可知，点是椭圆的一个顶点，故． 因长半轴长是短半轴长的2倍，所以，解得． 故所求椭圆的标准方程为． 当焦点在y轴上时，同理可得，． 故所求椭圆的标准方程为． 讲解 说明 分析 讲解 提问 讲解 说明 讲解 说明 讲解 说明 讲解 说明 分析 讲解 提问 理解 思考 思考 回答 理解 理解 思考 理解 思考 理解 思考 理解 思考 思考 回答 理解 讲解椭圆的定义和标准方程 通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解 讲解椭圆的范围 讲解椭圆的对称性 讲解椭圆的顶点 讲解椭圆的离心率 通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解 理解应用 练习12.1.1 1．如果椭圆上一点到焦点的距离为6，那么点到另一个焦点的距离为_______． 2．求下列椭圆的焦点坐标． （1）； （2）． 3．求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1），，焦点在x轴上； （2），，焦点在y轴上； （3），； （4）两个焦点的坐标分别为，，且经过点． 练习12.1.2 1．求出下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标，并画出图形． （1）； （2）； （3）； （4）． 2．求满足下列条件的椭圆的方程． （1）长轴长和短轴